Chứng minh rằng n^3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Video Giải Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1

Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

A = n³ – n (có nhân tử chung n)

= n(n² – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

+) Nếu n chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

Nếu n lẻ thì n + 1 là số chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

 Do đó A chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1).

+) Nếu n chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 1 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 2 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Do đó A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2).

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Phân tích đa thức 2x³y – 2xy³ – 4xy² – 2xy thành nhân tử...

Câu hỏi 2 trang 23 Toán 8 Tập 1: a) Tính nhanh x² + 2x + 1 - y² tại x = 94,5 và y = 4,5...

Bài 51 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x³ – 2x² + x...

Bài 52 trang 24 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n...

Bài 53 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x² – 3x + 2...

Bài 54 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x³ + 2x²y + xy² – 9x...

Bài 55 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết: a) x³ - $\frac{1}{4}x$ = 0...

Bài 56 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của đa thức: a) x² + $\frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$...

Bài 57 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x² – 4x + 3...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp có đáp án