Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 9.48 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;

b) BF . BA + CE . CA = BC².

Lời giải:

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.

Tam giác BDA vuông ở D và tam giác BFC vuông ở F có:

$\widehat{ABC}$ chung.

Do đó, ∆BDA ᔕ ∆BFC (góc nhọn). Suy ra $\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}$ .

Suy ra $\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}$ .

Xét tam giác BDF và tam giác BAC có:

$\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}$

$\widehat{ABC}$ chung

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆BAC (c.g.c).

Tam giác CDA vuông ở D và tam giác CEB vuông ở E có:

$\widehat{ACB}$ chung

Do đó, ∆CDA ᔕ ∆CEB (góc nhọn).

Nên $\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{BC}$ .

Suy ra $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{BC}$ .

Tam giác CDE và tam giác CAB có: $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{BC}$

$\widehat{ACB}$ chung

Do đó, ∆CDE ᔕ ∆CAB (c.g.c).

b)

Theo chứng minh phần a ta có:

$\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}$ nên BF . BA = BD . BC;

$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{BC}$ nên CE . CA = CD . BC.

Suy ra BF . BA + CE . CA = BD . BC + CD . BC = BC.(BD + CD) = BC . BC = BC².

Vậy BF . BA + CE . CA = BC².