Sách bài tập Toán 8 Bài 34 (Kết nối tri thức): Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Giải SBT Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài 9.12 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Hai tam giác có độ dài ba cạnh như sau có đồng dạng không ? Vì sao ?

(1) 2 cm, 3 cm, 4 cm và 6 cm, 9 cm, 12 cm.

(2) 3 cm, 5 cm, 6 cm và 6 cm, 10 cm, 11 cm.

(3) 2 cm, 3 cm, 3 cm và 2 cm, 2 cm, 3 cm.

(4) 4 cm, 4 cm, 4cm và 3 cm, 3 cm, 3 cm.

Lời giải:

(1) Vì $\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}$ nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

(2) Vì $\frac{3}{6}=\frac{5}{10}\ne \frac{6}{11}$ nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

(3) Vì $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}\ne \frac{3}{2}$ nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

(4) Vì $\frac{4}{3}=\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$ nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Bài 9.13 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và DEF lần lượt có chu vi là 15 cm và 20 cm. Biết rằng $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{3}{4}$ . Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆DEF.

Lời giải:

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{3}{4}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{AB+AC}{DE+DF}=\frac{15-BC}{20-FE}$

Do đó,

4(15 – BC) = 3(20 – FE)

60 – 4BC = 60 – 3FE

4BC = 3FE

Suy ra $\frac{BC}{FE}=\frac{3}{4}$ .

Tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\left(=\frac{3}{4}\right)$.

Nên ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).

Bài 9.14 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP thỏa mãn 2AB = 3AC = 4BC và DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 4 cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP.

Đề bài của sách bài tập chưa chính xác, cần sửa như sau:

Cho hai tam giác ABC và DEF thỏa mãn 2AB = 3AC = 4BC và DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 4 cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆DEF.

Lời giải:

Vì DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 3 cm nên ta có: DE : DF : EF = 6 : 4 : 3.

Do đó $\frac{DE}{6}=\frac{DF}{4}=\frac{EF}{3}$ . Suy ra $\frac{2DE}{12}=\frac{3DF}{12}=\frac{4EF}{12}$ .

Suy ra 2DE = 3DF = 4EF.

Mà 2AB = 3AC = 4BC (gt)

Do đó, $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$ .

Suy ra, ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).

Bài 9.15 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Lấy M, N, P là các điểm lần lượt trên các tia OA, OB, OC sao cho OA = 3OM, OB = 3ON, OC = 3OP. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Vì OA = 3OM, OB = 3ON, OC = 3OP.

Nên $\frac{OA}{OM}=3;\frac{OB}{ON}=3;\frac{OC}{OP}=3$ . Suy ra $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{OC}{OP}=3$ .

Tam giác OMN có: $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}$.

Nên suy ra AB song song với MN (định lí Thalès đảo).

Do đó, $\frac{AB}{MN}=\frac{OA}{OM}=3$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{AC}{MP}=3;\frac{BC}{NP}=3$ .

Tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}=3$.

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c) với tỉ số đồng dạng 3.

Bài 9.16 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Tam giác ABC có:

M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, MN // AB và $\frac{AB}{MN}=2$ .

Chứng minh tương tự ta có:$\frac{BC}{PN}=2$; $\frac{AC}{PM}=2$ .

Tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{PN}=\frac{AC}{PM}$(= 2).

Nên ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c) theo tỉ số đồng dạng là 2.

Bài 9.17 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD với AB = 2 cm, AD = 3 cm, BD = 4 cm, BC = 6 cm, CD = 8 cm. Chứng minh rằng ∆ABD ᔕ ∆BDC và AB song song với CD.

Lời giải:

Tam giác ABD và tam giác BDC có:

$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{BC}$ (do $\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆BDC (c.c.c).

Suy ra: $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó, AB song song với CD.

Bài 9.18 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 4 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm. Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC và có độ dài cạnh lớn nhất bằng 9 cm. Hãy cho biết độ dài các cạnh MN, MP, NP của tam giác MNP.

Lời giải:

Vì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC nên:

$\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC}=\frac{MP}{AC}$(các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Mà trong tam giác ABC, cạnh AC lớn nhất nên trong tam giác MNP cạnh lớn nhất là MP.

Do đó, MP = 9 cm.

Khi đó $\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC}=\frac{MP}{AC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ .

Suy ra: $MN=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}.4=6$ (cm), $NP=\frac{3}{2}BC=\frac{3}{2}\cdot 5=\frac{15}{2}$ (cm).

Bài 9.19 trang 55 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Với hai tam giác ABC và DEF bất kì thỏa mãn $\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DF}$ , $\widehat{ABC}=\widehat{DFE}$ . Những khẳng định nào sau đây là đúng ?

(1) ∆ABC ᔕ ∆DEF.

(2) ∆CAB ᔕ ∆DEF.

(3) ∆ABC ᔕ ∆EFD

(4) ∆BCA ᔕ ∆EFD.

(5) ∆ABC ᔕ ∆FDE.

(6) ∆BAC ᔕ ∆FED.

Lời giải:

Hai tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DF}$

$\widehat{ABC}=\widehat{DFE}$

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆EFD (c.g.c).

Khi đó, đỉnh A tương ứng với đỉnh E, đỉnh B tương ứng với đỉnh F và đỉnh C tương ứng với đỉnh D.

Suy ra các đáp án đúng là (2), (3), (6).

Bài 9.20 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Với hai tam giác bất kì ABC và MNP thỏa mãn $\widehat{ABC}=\widehat{NMP}$, $\widehat{ACB}=\widehat{MNP}$ . Những khẳng định nào sau đây là đúng ?

(1) ∆ABC ᔕ ∆MNP.

(2) ∆BCA ᔕ ∆MNP.

(3) ∆ABC ᔕ ∆NPM.

(4) ∆CAB ᔕ ∆NPM.

(5) ∆ABC ᔕ ∆PMN.

(6) ∆BAC ᔕ ∆MNP.

Lời giải:

Tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\widehat{ABC}=\widehat{NMP}$

$\widehat{ACB}=\widehat{MNP}$

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆PMN (g.g).

Khi đó đỉnh A tương ứng với đỉnh P, đỉnh B tương ứng với đỉnh M, đỉnh C tương ứng với đỉnh N.

Suy ra, các khẳng định đúng là (2), (4), (5).

Bài 9.21 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho AM . AB = AN . AC.

a) Chứng minh rằng ∆AMN ᔕ ∆ACB.

b) Lấy E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$ .

Lời giải:

Vì AM . AB = AN . AC nên $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ .

Tam giác AMN và tam giác ABC có:

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

$\widehat{BAC}$ chung.

Do đó, ∆AMN ᔕ ∆ACB (c.g.c).

b)

Vì ∆AMN ᔕ ∆ACB (cmt) nên $\widehat{AMN}=\widehat{C}$ và $\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{CB}$ .

Mà E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC nên MN = 2ME, BC = 2FC.

Do đó: $\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{CB}=\frac{2ME}{2FC}=\frac{ME}{FC}$ .

Tam giác MAE và tam giác CAF có:

$\widehat{AME}=\widehat{C}$ (do $\widehat{AMN}=\widehat{C}$ );

$\frac{AM}{AC}=\frac{ME}{FC}$(cmt).

Do đó, ∆AME ᔕ ∆ACF (c.g.c). Suy ra $\widehat{EAM}=\widehat{FAC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$ .

Bài 9.22 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho $\widehat{APQ}=\widehat{ACB}$ . Chứng minh rằng:

a) AP . AB = AQ . AC.

b) ∆APC ᔕ ∆AQB.

Lời giải:

a)

Xét tam giác APQ và tam giác ACB có:

$\widehat{PAQ}=\widehat{BAC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{APQ}=\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Do đó, ∆APQ ᔕ ∆ACB (g.g) nên $\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$ .

Suy ra: AP . AB = AQ . AC.

b)

Vì $\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$ nên $\frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}$.

Xét tam giác APC và tam giác AQB có:

$\widehat{PAC}=\widehat{BAQ}$ (hai góc đối đỉnh),

$\frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}$ (chứng minh trên).

Do đó, ∆APC ᔕ ∆AQB (c.g.c).

Bài 9.23 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) ∆MEN ᔕ ∆BFC.

b) $\frac{AE}{AF}=\frac{MN}{BC}$ .

Lời giải:

a)

Vì MN song song với BC (gt) nên

$\widehat{ENM}=\widehat{C}$ (hai góc đồng vị);

$\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).

Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên $\widehat{EMN}=\frac{1}{2}\widehat{AMN}$ và $\widehat{FBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$. Do đó, $\widehat{EMN}=\widehat{FBC}$.

Tam giác MEN và tam giác BFC có:

$\widehat{ENM}=\widehat{C}$ (cmt)

$\widehat{EMN}=\widehat{FBC}$ (cmt)

Do đó, tam giác MEN đồng dạng với tam giác BFC (g.g).

b)

Tam giác ABC có:

MN song song với BC

Nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$(1).

Vì ME, BF lần lượt là phân giác của $\widehat{M}$ , $\widehat{B}$ của tam giác AMN và tam giác ABC nên $\widehat{EMA}=\frac{1}{2}\widehat{AMN}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\widehat{FBA}$ .

Do đó $\widehat{EMA}=\widehat{FBA}$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME song song với BF.

Tam giác ABF có ME song song với BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{AE}{AF}=\frac{AM}{AB}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AE}{AF}=\frac{MN}{BC}$ .

Bài 9.24 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng AB = 2 cm, BD = 4 cm, CD = 8 cm. Chứng minh rằng BC = 2AD

Lời giải:

Vì AB song song CD nên $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong).

Tam giác ABD và tam giác BDC có:

$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$ (do $\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ )

$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$(cmt)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆BDC (c.g.c).

Suy ra: $\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{2}$ .

Do đó, BC = 2AD.

Bài 9.25 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F.

a) Chứng minh rằng: ∆EAB ᔕ ∆EDC, ∆FAB ᔕ ∆FCD.

b) Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.

Lời giải:

a)

Vì AB song song với đáy CD của tam giác EDC nên ∆EAB ᔕ ∆EDC.

Vì AB song song với đáy CD của tam giác FCD nên ∆FAB ᔕ ∆FCD.

b)

Vì ∆EAB ᔕ ∆EDC (cmt) nên $\frac{EA}{ED}=\frac{AB}{DC}=\frac{2AM}{2DN}=\frac{AM}{DN}$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Tam giác EAM và tam giác EDN có:

$\frac{EA}{ED}=\frac{AM}{DN}$ (cmt)

$\widehat{EAM}=\widehat{EDN}$ (AM song song với DN, hai góc đồng vị)

Do đó, ∆EAM ᔕ ∆EDN (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AEM}=\widehat{DEN}$.

Do đó, tia EM trùng với tia EN hay 3 điểm M, E, N thẳng hàng (1).

Vì ∆FAB ᔕ ∆FCD nên $\frac{FA}{FC}=\frac{AB}{CD}=\frac{AM}{CN}$ .

Hai tam giác FAM và tam giác FCN có:

$\frac{FA}{FC}=\frac{AM}{CN}$ (cmt)

$\widehat{FAM}=\widehat{FCN}$ (AM song song với CN, hai góc so le trong)

Do đó, ∆FAM ᔕ ∆FCN (c.g.c).

Nên $\widehat{AFM}=\widehat{CFN}$

Do đó, tia FM và tia FN là hai tia đối nhau.

Suy ra, F, M, N thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) ta có: 4 điểm M, E, F, N thẳng hàng.

Bài 9.26 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 9 cm. Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho AD = 4 cm. Chứng minh rằng ∆ABD ᔕ ∆ACB và $BC=\frac{3}{2}BD$ .

Lời giải:

Xét hai tam giác ABD và tam giác ACB có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$ (do $\frac{6}{9}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ )

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆ACB (c.g.c).

Suy ra $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ .

Nên BC = $\frac{3}{2}$ BD.

Bài 9.27 trang 57 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD như Hình 9.6. Biết rằng AB = 2 cm, AC = 4 cm, AD = 8 cm và AC là phân giác của góc BAD. Chứng minh rằng CD = 2BC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ (vì AC là tia phân giác của )

$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$ (do $\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$ )

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆ACD (c.g.c).

Do đó, $\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra CD = 2BC.

Bài 9.28 trang 57 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AC sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{BCA}$ . Chứng minh rằng: AB² = AD . AC.

Lời giải:

Xét tam giác ABD và tam giác ACB có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ABD}=\widehat{BCA}$ (gt)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆ACB (g.g).

Suy ra $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$ .

Nên AB² = AD . AC.

Bài 9.29 trang 57 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ . Gọi O là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:

a) AM . AB = AN . AC.

b) OM . OC = ON . OB.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ (gt)

Do đó, ∆ABN ᔕ ∆ACM (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AM}$ nên AM . AB = AN . AC.

b)

Tam giác BOM và tam giác CON có:

$\widehat{MBO}=\widehat{NCO}$ (do $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ )

$\widehat{MOB}=\widehat{NOC}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên ∆BOM ᔕ ∆CON (g.g).

Suy ra $\frac{OM}{ON}=\frac{OB}{OC}$ nên OM . OC = ON . OB.

Bài 9.30 trang 57 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB. Chứng minh rằng:

a) ∆ABC ᔕ ∆ADB.

b) $\widehat{ACB}=2\widehat{ABC}$ .

Lời giải:

a)

Ta có: AD = AC + DC = AC + BC = 4 + 5 = 9 (cm).

Xét tam giác ABC và tam giác ADB có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}\left(\frac{6}{9}=\frac{4}{6}\right)$.

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆ADB (c.g.c).

b)

Vì ∆ABC ᔕ ∆ADB (cmt) nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADB}$ .

Mà tam giác BCD cân tại C (do CD = CB) nên $\widehat{CBD}=\widehat{BDC}$ hay $\widehat{CBD}=\widehat{ADB}$ .

Do đó, $\widehat{CBD}=\widehat{ABC}$ .

Vì góc ACB là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác DBC nên ta có:

$\widehat{ACB}=\widehat{CDB}+\widehat{CBD}=2\widehat{CBD}=2\widehat{ABC}$.

Vậy $\widehat{ACB}=2\widehat{ABC}$ .

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 37: Hình đồng dạng

Bài tập cuối chương 9