Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài 9.23 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) ∆MEN ᔕ ∆BFC.

b) $\frac{AE}{AF}=\frac{MN}{BC}$ .

Lời giải:

a)

Vì MN song song với BC (gt) nên

$\widehat{ENM}=\widehat{C}$ (hai góc đồng vị);

$\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).

Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên $\widehat{EMN}=\frac{1}{2}\widehat{AMN}$ và $\widehat{FBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$. Do đó, $\widehat{EMN}=\widehat{FBC}$.

Tam giác MEN và tam giác BFC có:

$\widehat{ENM}=\widehat{C}$ (cmt)

$\widehat{EMN}=\widehat{FBC}$ (cmt)

Do đó, tam giác MEN đồng dạng với tam giác BFC (g.g).

b)

Tam giác ABC có:

MN song song với BC

Nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$(1).

Vì ME, BF lần lượt là phân giác của $\widehat{M}$ , $\widehat{B}$ của tam giác AMN và tam giác ABC nên $\widehat{EMA}=\frac{1}{2}\widehat{AMN}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\widehat{FBA}$ .

Do đó $\widehat{EMA}=\widehat{FBA}$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME song song với BF.

Tam giác ABF có ME song song với BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{AE}{AF}=\frac{AM}{AB}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AE}{AF}=\frac{MN}{BC}$ .