Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=(x^2 – 1)^2 – 3 tại các giao điểm của nó với đồ thị

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9

Bài 9.47 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 tại các giao điểm của nó với đồ thị hàm số y = 10 – x².

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 và đồ thị hàm số y = 10 – x² là nghiệm của phương trình: (x² – 1)² – 3 = 10 – x²

$\iff$ x⁴ – 2x² + 1 – 3 = 10 – x²

$\iff$ x⁴ – x² – 12 = 0

$\iff$ (x² + 3)(x² – 4) = 0

$\iff$ x² – 4 = 0 (do x² + 3 > 0 với mọi x)

$\iff$ x = 2 hoặc x = −2.

Với x = 2, ta có tọa độ giao điểm A(2; 6).

Với x = −2, ta có tọa độ giao điểm B(−2; 6).

Có y' = [(x² – 1)² – 3]' = 2(x² – 1)(x² – 1)' = 4x(x² – 1).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(2) = 4×2×(2² – 1) = 24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6) là:

y = 24(x – 2) + 6 hay y = 24x – 42.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(−2) = 4×(−2)×[(−2)² – 1] = −24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6) là:

y = −24(x + 2) + 6 hay y = −24x – 42.

Vậy y = 24x – 42 và y = −24x – 42 là hai tiếp tuyến cần tìm.