Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0

Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2:Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 (a² + b² > 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$và cho điểm M₀(x₀;y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H,y_H) trên Δ (Hình 9).

a) Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ   và  $\overrightarrow{H{M}_0}$. Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.

c) Giải thích công thức |$\overrightarrow{H{M}_0}$ | =  $\frac{\left|p\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$.

Lời giải:

a)  $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 nên $\overrightarrow{n}$ ⊥ Δ   (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M₀ xuống Δ nên M₀H ⊥ Δ     (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương.

Ta có: $\overrightarrow{n}$ = (a; b), $\overrightarrow{H{M}_0}$ = (x₀−x_H;y₀−y_H).

Vậy $\overrightarrow{n}$  và  $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương và $\overrightarrow{n}$  = (a; b), $\overrightarrow{H{M}_0}$ = (x₀ − x_H; y₀ − y_H).

b) Vì H ∈ Δ nên ax_H + by_H + c = 0 ⇒ c = −ax_H – by_H

c) Vì $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\overrightarrow{H{M}_0}$ nên  $\overrightarrow{H{M}_0}$ = t $\overrightarrow{n}$.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 10 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình... 

Hoạt động khám phá 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀... 

Hoạt động khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀... 

Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d... 

Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã... 

Hoạt động khám phá 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀... 

Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát... 

Vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính.... 

Thực hành 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường... 

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi... 

Hoạt động khám phá 4 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là... 

Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau... 

Vận dụng 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình đường thẳng d₁:... 

Hoạt động khám phá 5 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết... 

Hoạt động khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0...

Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong... 

Vận dụng 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của... 

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0... 

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A... 

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂... 

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:  Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong... 

Bài tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4)... 

Bài tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của... 

Bài tập 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây... 

Bài tập 5 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số... 

Bài tập 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong... 

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong... 

Bài tập 8 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:... 

Bài tập 9 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên... 

Bài tập 10 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá...