Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD

Giải Toán 8 Ôn tập chương 3

Video Giải Bài 59 trang 92 Toán 8 Tập 2

Bài 59 trang 92 Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Lời giải:

Gọi KO cắt AB, CD lần lượt tại M, N.

Xét ΔKDN có AM // DN (A ∈ KD, M ∈ KN)

⇒ $\frac{AM}{DN}=\frac{KM}{KN}$  (Hệ quả định lý Ta - let)  (1)

Xét ΔKCN có BM // CN (M ∈ KN, B ∈ KC)

⇒  $\frac{MB}{NC}=\frac{KM}{KN}$  (Hệ quả định lý Ta - let)  (2)

Từ (1); (2) suy ra:

 $$\begin{gathered} \frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC} \\ \Rightarrow \frac{AM}{BM}=\frac{DN}{CN}\left(3\right) \end{gathered}$$

Xét ΔOCN có AM // NC (A ∈ OC, M ∈ ON)

⇒  $\frac{AM}{CN}=\frac{OM}{ON}$ (Hệ quả định lý Ta - let)

Xét ΔODN có MB // ND (M ∈ ON, B ∈ OD)

⇒ $\frac{MB}{ND}=\frac{OM}{ON}$  (Hệ quả định lý Ta - let)

Suy ra:

 $$\begin{gathered} \frac{AM}{CN}=\frac{BM}{ND} \\ \Rightarrow \frac{AM}{BM}=\frac{CN}{DN}\left(\text{}4\right) \end{gathered}$$

Từ (3) và (4) suy ra

$\frac{DN}{CN}=\frac{CN}{DN}$

⇒ CN = DN

⇒ AM = MB

Vậy M, N là trung điểm AB, CD.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thằng A'B' và C'D'...

Câu hỏi 2 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta - let trong tam giác...

Câu hỏi 3 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta - let đảo...

Câu hỏi 4 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận về hệ quả của định lí Ta - let...

Câu hỏi 5 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam giác...

Câu hỏi 6 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng...

Câu hỏi 7 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác...

Câu hỏi 8 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác...

Câu hỏi 9 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông...

Bài 56 trang 92 Toán 8 Tập 2: Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau...

Bài 57 trang 92 Toán 8 Tập 2: Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M...

Bài 58 trang 92 Toán 8 Tập 2: Chứng minh BK = CH...

Bài 60 trang 92 Toán 8 Tập 2: Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC...

Bài 61 trang 92 Toán 8 Tập 2: Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên...