Chứng minh BK = CH

Giải Toán 8 Ôn tập chương 3

Video Giải Bài 58 trang 92 Toán 8 Tập 2

Bài 58 trang 92 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (h.66).

a) Chứng minh BK = CH.

b) Chứng minh KH // BC.

c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu c):

- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

Lời giải:

a) Xét tam giác BKC và tam giác CHB có:

BC chung

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(vì tam giác ABC cân tại A)

$\widehat{BKC}=\widehat{BHC}={90}^0$

Do đó, ∆BKC = ∆CHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra: BK = CH.

b) Ta có: Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Theo ý a ta có BK = CH

Suy ra: AK = AH (do AB = AC tam giác cân)

Do đó: $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

Suy ra: KH // BC (định lí Ta- let đảo).

c) Ta có: đường cao BH cắt đường cao CK tại M nên M là trực tâm tam giác ABC

Suy ra: AM vuông góc BC tại I.

Ta có: ∆AIC $~$ ∆ BHC ( vì $\widehat{AIC}=\widehat{BHC}={90}^0;\widehat{C}chung)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{IC}{HC}=\frac{AC}{BC} \\ \Rightarrow \frac{\frac{a}{2}}{HC}=\frac{b}{a} \\ \Rightarrow HC=\frac{a^2}{2b} \\ \Rightarrow AH=AC-HC \\ =b-\frac{a^2}{2b} \\ =\frac{2b^2-a^2}{2b} \end{gathered}$$

Mà HK // BC nên

$$\begin{gathered} \frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AC} \\ \Rightarrow HK=\frac{BC.AH}{AC} \end{gathered}$$

Suy ra:

$$\begin{gathered} HK=\frac{a}{b}.\left(\frac{2b^2-a^2}{2b}\right) \\ =\frac{2a{b}^2-a^3}{2b^2} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thằng A'B' và C'D'...

Câu hỏi 2 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta - let trong tam giác...

Câu hỏi 3 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta - let đảo...

Câu hỏi 4 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận về hệ quả của định lí Ta - let...

Câu hỏi 5 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam giác...

Câu hỏi 6 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng...

Câu hỏi 7 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác...

Câu hỏi 8 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác...

Câu hỏi 9 trang 89 Toán 8 Tập 2: Phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông...

Bài 56 trang 92 Toán 8 Tập 2: Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau...

Bài 57 trang 92 Toán 8 Tập 2: Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M...

Bài 59 trang 92 Toán 8 Tập 2: Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD...

Bài 60 trang 92 Toán 8 Tập 2: Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC...

Bài 61 trang 92 Toán 8 Tập 2: Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên...