Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2 cm

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập ôn tập cuối năm

Bài tập 13 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2 cm. Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng ∆BDE ᔕ ∆DCF.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có:

AB² + AC² = BC² (do 3² + 4² = 5²).

Nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).

Ta có DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC tại E và F.

Do đó, $\widehat{DFC\text{}}=\widehat{DFA}=\widehat{DEA}=\widehat{DEB}=90°$.

Xét tứ giác AEDF có: $\widehat{DFA}=\widehat{DEA}=\widehat{FAE}=90°$.

Nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Do đó, $\widehat{FDE}=90°$.

Mà $\widehat{CDF}+\widehat{FDE}+\widehat{EDB}=180°$. Suy ra $\widehat{CDF}+\widehat{EDB}=90°$.

Xét tam giác BDE và tam giác DCF có:

$\widehat{DEB}=\widehat{DFC}=90°$

$\widehat{B}=\widehat{FDC}$$\left(=90°-\widehat{EDB}\right)$

Do đó, ∆BDE ᔕ ∆DCF (g.g).

b) Tam giác ABC có: DE // AC (cùng vuông góc với AB).

Nên ∆BDE ᔕ ∆BCA.

Do đó, $\frac{ED}{AC}=\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}$.

Suy ra $\frac{DE}{4}=\frac{EB}{3}=\frac{2}{5}$.

Do đó, DE = $\frac{8}{5}$cm, EB = $\frac{6}{5}$cm.

Suy ra AE = AB – EB = 3 – $\frac{6}{5}$$\frac{9}{5}$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AED vuông tại E có:

AD² = AE² + ED² = ${\left(\frac{9}{5}\right)}^2+{\left(\frac{8}{5}\right)}^2=\frac{29}{5}$.

Suy ra $AD=\sqrt{\frac{29}{5}}$ cm.