Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

Bài 9.10 trang 52 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ và BC = 2NP. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra EF song song với BC.

Do đó, ∆AEF ᔕ ∆ABC.

Lại có $\frac{AB}{AE}=2$: nên ∆ABC ᔕ ∆AEF với tỉ số đồng dạng bằng 2 (1).

Vì EF song song với BC nên $\widehat{ABC}=\widehat{AEF},\widehat{ACB}=\widehat{AFB}$: (hai góc đồng vị).

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Do đó, $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}=\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$.

Tam giác MNP cân tại M nên $\widehat{MNP}=\widehat{NPM}$ .

Lại có: $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ (giả thiết).

Do đó, $\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{MNP}=\widehat{NPM}$ .

Ta có EF = $\frac{1}{2}BC$ (do EF là đường trung bình của tam giác ABC) và

$NP=\frac{1}{2}BC$ (do BC = 2NP). Do đó, EF = NP.

Tam giác AEF và tam giác MNP có:

$\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{MNP}=\widehat{NPM}$(chứng minh trên)

EF = NP (chứng minh trên)

Do đó, tam giác AEF và tam giác MNP bằng nhau (g.c.g).

Suy ra ∆AEF ᔕ ∆MNP với tỉ số đồng dạng bằng 1 (2).

Từ (1) và (2) ta có: ∆ABC ᔕ ∆MNP với tỉ số đồng dạng bằng 2.