Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Câu 9 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ($A^{\text{'}}BC$) bằng

A. $\frac{a}{\sqrt{2}}$ .

B. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$ .

C. $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

D. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi E là trung điểm của BC.

Ta có:

Vẽ AH ⊥ A'E $\Rightarrow$ AH ⊥ (A'BC)

$\Rightarrow$ d(A, (A'BC)) = AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác: AH = $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

$\Rightarrow SH=HB=\frac{1}{2}AB=a.$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.2a.a=\frac{2a^3}{3}.$