Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, mặt bên SAB

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Câu 10 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.

A. $\frac{a\sqrt{30}}{10}$ .

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{a\sqrt{15}}{5}$ .

D. a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm AB.

Do

F đối xứng với H qua B $\Rightarrow$ BECF là hình bình hành.

BE // CF $\subset$ (SCF) $\Rightarrow$d(BE, (SCF)) = d(B, (SCF)) = $\frac{1}{2}$ d(H, (SCF)).

HBCE là hình vuông cạnh a $\Rightarrow$ $CH=BE=CF=a\sqrt{2}.$

Dễ thấy $C{H}^2+C{F}^2=4a^2=H{F}^2$ $\Rightarrow$∆HCF vuông cân tại C.

Khi này

Mà (SCF) $\cap$ (SHC) = SC. Trong (SHC) kẻ HK ⊥ SC $\Rightarrow$ HK ⊥ (SCF).

Suy ra d(H, (SCF)) = HK $\Rightarrow$ d(BE, SC) = $\frac{1}{2}$ HK.

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHC vuông tại H, đường cao HK

$\Rightarrow$ $HK=\frac{a\sqrt{30}}{5}$.

Vậy $d\left(BE,SC\right)=\frac{1}{2}HK=\frac{a\sqrt{30}}{10}$ .