Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Bài 2 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).

b) Gọi O và H là trực tâm ∆BCD và ∆ACD. Chứng minh OH vuông góc với (ADC).

Lời giải:

a)Từ giả thiết suy ra AB ⊥ (BDC) $\Rightarrow$ AB ⊥ DC.

Lại có: BE ⊥ DC.

$\Rightarrow$ DC ⊥ (ABE) hay (ADC) ⊥ (ABE). (1)

Ta có: .

Mà DK ⊥ AC.

Do đó AC ⊥ (DFK) hay (ADC) ⊥ (DFK). (2)

b)Dễ thấy O, H lần lượt là các giao điểm của DF và BE, AE và DK.

$\Rightarrow$ (ABE) $\cap$ (DFK) = OH. (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ OH ⊥ (ADC).