Bài 4.24 trang 89 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.24 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$ hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay $\widehat{ADE}=90°$.

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay $\widehat{AFE}=90°$.

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ADE}+\widehat{AFE}+\widehat{DEF}=360°$

$90°+90°+90°+\widehat{DEF}=360°$

$270°+\widehat{DEF}=360°$

Suy ra $\widehat{DEF}=360°-270°=90°$.

Tứ giác ADEF có $\widehat{BAC}=90°;\widehat{ADE}=90°;\widehat{AFE}=90°;\widehat{DEF}=90°$ .

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.