Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn lim a^n/a^n+1

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}$.

Lời giải:

⦁ Nếu 0 < a < 1 thì limaⁿ = 0 nên $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}=\frac{\text{lim}{a}^n}{\text{lim}{a}^n+1}=\frac{0}{0+1}=0.$

⦁ Nếu a = 1 thì $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}=\text{lim}\frac{1^n}{1^n+1}=\text{lim}\frac{1}{1+1}=\text{lim}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

⦁ Nếu a > 1, ta viết $\frac{a^n}{a^n+1}=\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}$ (chia cả tử và mẫu cho aⁿ)

Do a > 1 nên $0<\frac{1}{a}<1$, suy ra $\text{lim}{\left(\frac{1}{a}\right)}^n=0$. Từ đó,

$\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}=\text{lim}\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}=\frac{1}{1+\text{lim}{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}=\frac{1}{1+0}=1.$

Vậy $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}$ bằng 0 nếu 0 < a < 1; bằng $\frac{1}{2}$ nếu a = 1; bằng 1 nếu a > 1.