Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 10 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 100 m³ ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Lời giải:

Lượng nước ban đầu là u₁ = 100

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 1 là: 100.80% = 100.0,8

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 2 là: 100.80%.80% = 100.(0,8)²

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 3 là: 100.80%.80%.80% = 100.(0,8)³

....

Vậy tổng lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng mãi mãi là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u₁ = 100 và công bội q = 0,8 thỏa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng:

$$\begin{gathered} 100+100\cdot 0,8+100\cdot {\left(0,8\right)}^2+100\cdot {\left(0,8\right)}^3+\dots \\ =\frac{100}{1-0,8}=\frac{100}{0,2} \end{gathered}$$

$=500\left({\text{m}}^3\right).$