Cho tam giác OA1A2 vuông cân tại A2 có cạnh huyền OA1 bằng a. Bên ngoài tam giác OA1A2

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 11 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OA₁A₂ vuông cân tại A₂ có cạnh huyền OA₁ bằng a. Bên ngoài tam giác OA₁A₂, vẽ tam giác OA₂A₃ vuông cân tại A₃. Tiếp theo, bên ngoài tam giác OA₂A₃, vẽ tam giác OA₃A₄ vuông cân tại A₄. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc A₁A₂A₃A₄...

Lời giải:

Ta có các góc $\widehat{A_{1}O{A}_2},\widehat{A_{2}O{A}_3},\widehat{A_{3}O{A}_4},\dots$ đều bằng 45°. Ta có:

$A_1{A}_2=O{A}_2=O{A}_1\cdot \text{cos}{45}^{\circ }=a\frac{\sqrt{2}}{2};$

$$\begin{gathered} A_2{A}_3=O{A}_3=O{A}_2\cdot \text{cos}{45}^{\circ } \\ =a\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A_3{A}_4=O{A}_4=O{A}_3\cdot \text{cos}{45}^{\circ } \\ =a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3 \end{gathered}$$

Vậy độ dài các đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, ... tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và công bội $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, độ dài đường gấp khúc A₁A₂A₃A₄... là

$$\begin{gathered} l=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \\ =\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \left(2+\sqrt{2}\right)=a\left(1+\sqrt{2}\right). \end{gathered}$$