Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 13 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng $d_n:y=\frac{2n+1}{n}x$ tại điểm ${\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}$ (n ∈ ℕ*). Kí hiệu S_n là diện tích của tam giác OAP_n. Tìm limS_n.

Lời giải:

Ta có: A(2; 0) nên OA = 2.

Đường thẳng d: x + y = 2 ⇔ y = 2 – x.

Vì P_n(x₀; y₀) ∈ d nên P_n(x₀; 2 – x₀)

Hơn nữa P_n(x₀; y₀) ∈ d_n­ nên ta có:

$y_0=\frac{2n+1}{n}{x}_0\iff 2-x_0=\frac{2n+1}{n}{x}_0\iff \frac{3n+1}{n}{x}_0=2$

$\iff x_0=\frac{2n}{3n+1}\Rightarrow y_0=2-\frac{2n}{3n+1}=\frac{4n+2}{3n+1}$

$\Rightarrow P_n\left(\frac{2n}{3n+1};\frac{4n+2}{3n+1}\right)$

Gọi H là hình chiếu của P_n­ lên Ox. Khi đó P_nH = |y₀| = $\left|\frac{4n+2}{3n+1}\right|=\frac{4n+2}{3n+1}$ (do n ∈ ℕ*).

Ta có S_n = $\frac{1}{2}OA\cdot P_{n}H=\frac{1}{2}\mathrm{.2.}\frac{4n+2}{3n+1}=\frac{4n+2}{3n+1}.$

Khi đó $\text{lim}{S}_n=\text{lim}\frac{4n+2}{3n+1}=\text{lim}\frac{4+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{4}{3}.$