Trắc nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai có đáp án – Toán lớp 10

Điều kiện:$x\ne -1$

Phương trình $\frac{b}{x+1}=a\left(1\right)$

$\iff a\left(x+1\right)=b$

$\iff ax=b-a\left(2\right)$

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

$\iff$ phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác -1

$\iff \left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \frac{b-a}{a}\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ b-a\ne a\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ b\ne 0\end{array}\right.$.

Điều kiện:$x\ne 1$

Phương trình

$2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1}$

$\iff 2x\left(x-1\right)+3=3x$

$\iff 2x^2-5x+3=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\left(l\right)\\ x=\frac{3}{2}\left(n\right)\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$.

Điều kiện: $x\ne 0$

Phương trình thành $\left(m^2+2\right)x+3m=2x$

$\iff m^{2}x=-3m$

Vì $m\ne 0$ suy ra $x=\frac{-3}{m}$.

Điều kiện:$x\ne 0$

Phương trình

$\frac{\left(m^2+2\right)x+2m}{x}=2$

$$\begin{gathered} \iff m^{2}x=-2m \\ \iff x=\frac{-2}{m} \end{gathered}$$

Vậy $S=\left\{\frac{-2}{m}\right\}$.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}\right.$

Phương trình (1) thành

$\frac{x-m}{x+1}=\frac{x-2}{x-1}\left(1\right)$

$\iff \left(x-m\right)\left(x-1\right)=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

$\iff x^2-x-mx+m=x^2-x-2$

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

$\iff$ phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác -1 và 1

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \frac{m+2}{m}\ne 1\\ \frac{m+2}{m}\ne -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m+2\ne m\\ m+2\ne -m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 2\ne 0\left(ld\right)\\ m\ne -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne -1\end{array}\right.$

Điều kiện: $x\ne 1$

Phương trình (1) thành

$x-2+\frac{x+a}{x-1}=a$

$\iff x^2-3x+2+x+a=ax-a$

$\iff x^2-\left(2+a\right)x+2a+2=0\left(2\right)$

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

$\iff$phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2-4a-4=0\\ a+1\ne 0\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{a}^2-4a-4>0\\ a+1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}a=2+2\sqrt{2}\\ a=2-2\sqrt{2}\\ a=-1\end{array}\right.$

Với $a=2+2\sqrt{2}$ phương trình có nghiệm là $x=2+\sqrt{2}$

Với $a=2-2\sqrt{2}$ phương trình có nghiệm là $x=2-\sqrt{2}$

Với $a=-1$ phương trình có nghiệm là $\left[\begin{array}{l}x=0\left(n\right)\\ x=1\left(l\right)\end{array}\right.$.

Ta có

$\left|x-2\right|=\left|3x-5\right|$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=3x-5\\ x-2=5-3x\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=3\\ 4x=7\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

Ta có

$\left|2x-4\right|+\left|x-1\right|=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ x=1\end{array}\right.\left(vl\right)$

Suy ra $S=\varnothing$.

Điều kiện:

$\left\{\begin{array}{l}2x-3\ne 0\\ \left|x+1\right|\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{3}{2}\\ x\ne -1\end{array}\right.$

Phương trình (1) thành:

$\left|x+1\right|\left(x-1\right)=\left(-3x+1\right)\left(2x-3\right)$

TH1: $x\ge -1$

Phương trình thành:

$x^2-1=-6x^2+11x-3$

$\iff 7x^2-11x+2=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{11+\sqrt{65}}{14}\left(n\right)\\ x=\frac{11-\sqrt{65}}{14}\left(n\right)\end{array}\right.$

TH2: $x<-1$

Phương trình thành

$-x^2+1=-6x^2+11x-3$

$\iff 5x^2-11x+4=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{11+\sqrt{41}}{10}\left(l\right)\\ x=\frac{11-\sqrt{41}}{10}\left(l\right)\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{\frac{11+\sqrt{65}}{14};\frac{11-\sqrt{65}}{14}\right\}$.

Điều kiện: $x>2$

Ta có $\frac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}$

$\iff x^2-4x-2=x-2$

$\iff x^2-5x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\left(l\right)\\ x=5\left(n\right)\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{5\right\}$.

Điều kiện $x-2>0\iff x>2$.

$\left(1\right)\iff x^2-\left(2m+3\right)x+6m=0 \left(2\right)$, phương trình luôn có nghiệm là x=3 và x=2m, để phường trình (1)  có duy nhất 1 nghiệm thì $2m\le 2\iff m\le 1$

Điều kiện: $x\ge a$

Phương trình thành 

$\left[\begin{array}{l}{x}^2-5x+4=0\\ x-a=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=1\\ x=a\end{array}\right.$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$\iff 1\le a<4$.

Điều kiện: $x\ge 4$

Phương trình thành

$\sqrt{x-4}\left(x^2-3x+2\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=4\left(n\right)\\ x=1\left(l\right)\\ x=2\left(l\right)\end{array}\right.\iff x=4$

Phương trình

 $\left(x^2-3x+m\right)\left(x-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-3x+m=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

$\iff$phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\iff \left\{\begin{array}{l}9-4m>0\\ 1-3+m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{9}{4}\\ m\ne 2\end{array}\right.$

Đặt $t=x^2-2x+3\left(t\ge 2\right)$. Ta được phương trình $t^2+2\left(3-m\right)t+m^2-6m=0\left(1\right)$

${\Delta }^{/}=m^2-6m+9-m^2+6m=9$ suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm là $t_1=m-6$ và $t_2=m$.

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2

$\iff \left[\begin{array}{l}m-6\ge 2\\ m\ge 2\end{array}\right.\iff m\ge 2$

Điều kiện x <2, với điều kiện này thì phương trình đã cho trở thành

$x^2+2-2m=0\iff x^2=2m-2$ phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi $0<2m-2<4\iff 1<m<3$.

Đặt $t=\frac{x^2}{x-1}$

Phương trình (1) thành $t^2+2t+a=0 \left(2\right)$

Phương trình (1) có đúng 4 nghiệm

$\iff$ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4-4a>0\\ -2>0\left(vl\right)\\ a>0\end{array}\right.$

$\iff a\notin \varnothing$

Điều kiện $x\ne 0$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ suy ra $t\le -2$ hoặc $t\le 2$. Phương trình đã cho trở thành $t^2-2mt-1+2m=0,$ phương trình này luôn có hai nghiệm là $t_1=1$;$t_2=2m-1$ . Theo yêu cầu bài toán ta suy ra $\left[\begin{array}{l}2m-1\ge 2\\ 2m-1\le -2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge \frac{3}{2}\\ m\le -\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Ta có:

$x^2+\frac{4}{x^2}-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+k-1=0$

$\iff {\left(x-\frac{2}{x}\right)}^2-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+k+3=0\left(1\right)$

Đặt $t=x-\frac{2}{x}$, phương trình trở thành $t^2-4t+k+3=0\left(2\right)$.

Nhận xét : với mỗi nghiệm t của phương trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình (1).

Ta có : $\Delta =4-\left(k+1\right)=1-k$.

Từ nhận xét trên, phương trình (1) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}1-k>0\\ 1^2-\left(2+\sqrt{1-k}\right).1-2<0\\ 1^2-\left(2-\sqrt{1-k}\right).1-2<0\end{array}\right.$

$\iff -8<k<1$

Ta có:

$\Delta ={\left(4m-3\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(1-2m\right)$

$={\left(4m-1\right)}^2$

$2{\left(x^2+2x\right)}^2-\left(4m-3\right)\left(x^2+2x\right)+1-2m=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+2x=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ x^2+2x=2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff x^2+2x-\frac{1}{2}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\notin \left[-3;0\right]\\ x=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\in \left[-3;0\right]\end{array}\right.$

$\left(2\right)\iff {\left(x+1\right)}^2=2m$.Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ khi phương trình (2) có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2m>0\\ -3\le -1+\sqrt{2m}\le 0\\ -3\le -1-\sqrt{2m}\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ m\le \frac{1}{2}\\ m\le 2\end{array}\right.\iff 0<m\le \frac{1}{2}.$

Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.

Phương trình $x^6+2003x^3-2005=0$

Vì $1.\left(-2005\right)<0$ suy ra phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Suy ra có phương trình có một nghiệm âm.

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình (1) thành $a{t}^2+bt+c=0\left(2\right)$

Phương trình (1) vô nghiệm

$\iff$ phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm

$\iff \Delta <0\cup \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ S<0\\ P>0\end{array}\right.$

Ta có:

$$\begin{gathered} \Delta ={\left(\sqrt{65}-\sqrt{3}\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(8+\sqrt{63}\right) \\ =4-2\sqrt{195}-8\sqrt{63}<0 \end{gathered}$$

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình (1) thành :

$-t^2-2\left(\sqrt{2}-1\right)t+\left(3-2\sqrt{2}\right)=0$(2)

Phương trình (2) có $a.c=\left(-1\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)<0$

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình (1) thành $t^2-2005t-13=0 \left(1\right)$

Phương trình (2) có $a.c=1.(-13)<0$

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

Ruy ra phương trình (1) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

Trường hợp 1:$x<-2$

Phương trình thành $3-x-2x-4=3$

$\iff 3x=-4\iff x=\frac{-4}{3}\left(l\right)$

Trường hợp 2:$-2\le x\le 3$

Phương trình thành :

$3-x+2x+4=3$$\iff x=-4\left(l\right)$

Trường hợp 3:$x>3$

Phương trình thành:

$x-3+2x+4=3$

$\iff 3x=2\iff x=\frac{2}{3}$(1)

Vậy $S=\varnothing$.

$\left|2x-4\right|+\left|x-1\right|=0$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}2x-4=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ x=1\end{array}\right.\left(vl\right) \\ \iff x\in \varnothing \end{gathered}$$

Trường hợp 1:$x\le -2$

Phương trình thành: 

$-x-2-3x+5+2x-7=0$

$\iff -2x=4\iff x=-2\left(n\right)$

Trường hợp 2: $-2<x<\frac{5}{3}$

Phương trình thành:  

$x+2-3x+5+2x-7=0$

$\iff 0x=0\left(ld\right)$ suy ra $-2<x<\frac{5}{3}$

Trường hợp 3:$\frac{5}{3}\le x\le \frac{7}{2}$

Phương trình thành:

$x+2+3x-5+2x-7=0$

$\iff 6x=10\iff x=\frac{5}{3}\left(n\right)$

Trường hợp 4:$x>\frac{7}{2}$

Phương trình thành:

$x+2+3x-5-2x+7=0$

$\iff 6x=-4\iff x=\frac{-2}{3}$(1)

Vậy $S=\left[-2;\frac{5}{3}\right]$.

TH1: $x\le 1$

Phương trình thành:

$\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4=\frac{3}{4}$

$\iff x^2-5x+\frac{19}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\\ x=\frac{5-\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\end{array}\right.$

TH2: $1<x<2$

Phương trình thành:

$-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4=\frac{3}{4}$

$\iff x=\frac{7}{4}\left(n\right)$

TH3: $2\le x\le 3$

Phương trình thành:

$-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{3}{2}-\frac{x^2}{2}+3x-4=\frac{3}{4}$

$\iff -x^2+5x-\frac{25}{4}=0$

$\iff x=\frac{5}{2}\left(n\right)$

TH4: $x\ge 4$

Phương trình thành:

$\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4=\frac{3}{4}$

$\iff x^2-5x+\frac{19}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\\ x=\frac{5-\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\end{array}\right.$