Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài giảng Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Câu 1. Cho $\Delta ABC$ có $a=6, b=8, c=10.$ Diện tích S của tam giác trên là:

A. 48

B. 24 

C. 12

D. 30 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$:$p=\frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng công thức Hê-rông:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ =\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \\ =24 \end{gathered}$$

Câu 2. Cho $\Delta ABC$ thỏa mãn: $2\cos B=\sqrt{2}$. Khi đó:

A. $B={30}^0.$

B. $B={60}^0.$

C. $B={45}^0.$

D.  $B={75}^0.$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} 2\cos B=\sqrt{2} \\ \iff \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{B}={45}^0. \end{gathered}$$

Câu 3. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc ${78}^{o}24\text{'}$. Biết $CA=250m,CB=120m$. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

A. 266m

B. 255m

C. 166m

D. 298m

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  

$$\begin{gathered} A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2CB.CA.\cos C \\ ={250}^2+{120}^2-\mathrm{2.250.120.}\cos {78}^{o}24\text{'} \\ \simeq 64835\Rightarrow AB\simeq 255. \end{gathered}$$

Câu 4. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc ${60}^0$. Tàu  thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu  thứ hai chạy với tốc độ 40km/h. Hỏi sau 2 giờ  hai tàu  cách nhau bao nhiêu km?

A. 13

B. $15\sqrt{13}.$

C. $10\sqrt{13}.$

D. 15

Hiển thị đáp án  

Đáp án: Không có đáp án

Giải thích:

Không có đáp án.

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: $S_1=30.2=60km.$

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: $S_2=40.2=80km.$

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là:  

$$\begin{gathered} S=\sqrt{{S_1}^2+{S_2}^2-2S_1.S_2.\cos {60}^0} \\ =20\sqrt{13}. \end{gathered}$$

Câu 5. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD=80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là ${72}^{0}12\text{'}$ và ${34}^{0}26\text{'}$. Ba điểm A,B.D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB? 

A. 71m

B. 91m

C. 79m

D. 40m

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: Trong tam giác vuông CDA:  

$$\begin{gathered} \tan {72}^{0}12\text{'}=\frac{CD}{AD} \\ \Rightarrow AD=\frac{CD}{\tan {72}^{0}12\text{'}} \\ =\frac{80}{\tan {72}^{0}12\text{'}}\simeq 25,7. \end{gathered}$$

Trong tam giác vuông CDB:

$$\begin{gathered} \tan {34}^{0}26\text{'}=\frac{CD}{BD} \\ \Rightarrow BD=\frac{CD}{\tan {34}^{0}26\text{'}} \\ =\frac{80}{\tan {34}^{0}26\text{'}}\simeq 116,7. \end{gathered}$$

Suy ra: khoảng cách  

$AB=116,7-25,7=91m.$

Câu 6. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc ${56}^{0}16\text{'}$. Biết CA=200m,CB=180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

A. 163m

B. 224m

C. 112m

D. 168m

Hiển thị đáp án  

Đáp án: Không có đáp án

Giải thích:

Không có đáp án

Ta có:

$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2CB.CA.\cos C$

$$\begin{gathered} ={200}^2+{180}^2-\mathrm{2.200.180.}\cos {56}^{0}16\text{'} \\ \simeq 32416\Rightarrow AB\simeq 180. \end{gathered}$$

Câu 7. Cho $\Delta ABC$ vuông tại B và có $\widehat{C}={25}^0$. Số đo của góc A là:

A. $A={65}^0.$

B. $A={60}^0.$

C. $A={155}^0.$

D. $A={75}^0.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: Trong  $\Delta ABC$

$$\begin{gathered} \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0 \\ \Rightarrow \widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C} \\ ={180}^0-{90}^0-{25}^0={65}^0 \end{gathered}$$

Câu 8. Cho $\Delta ABC$ có $B={60}^0,a=8,c=5.$ Độ dài cạnh b bằng:

A. 7

B. 129

C. 49

D. $\sqrt{129}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 

$$\begin{gathered} b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ =8^2+5^2-\mathrm{2.8.5.}\cos {60}^0 \\ =49\Rightarrow b=7 \end{gathered}$$

Câu 9. Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{C}={45}^0,\widehat{B}={75}^0$. Số đo của góc A là:

A. $A={65}^0.$

B. $A={70}^0$ 

C. $A={60}^0.$ 

D. $A={75}^0.$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C} \\ ={180}^0-{75}^0-{45}^0={60}^0. \end{gathered}$$

Câu 10. Cho tam giác ABC, biết  $a=24,b=13,c=15.$ Tính góc A?

A. ${33}^{0}34\text{'}.$

B. ${117}^{0}49\text{'}.$

C. ${28}^{0}37\text{'}.$

D. ${58}^{0}24\text{'}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ =\frac{{13}^2+{15}^2-{24}^2}{\mathrm{2.13.15}} \\ =-\frac{7}{15}\Rightarrow A\simeq {117}^{0}49\text{'}. \end{gathered}$$

Câu 11. Tam giác ABC có $\widehat{A}={68}^{0}12\text{'},\widehat{B}={34}^{0}44\text{'},AB=117.$Tính AC?

A. 68

B. 168

C. 118

D. 200

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: Trong tam giác ABC:

$$\begin{gathered} \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0 \\ \Rightarrow \widehat{C}={180}^0-{68}^{0}12\text{'}-{34}^{0}44\text{'} \\ ={77}^{0}4\text{'} \end{gathered}$$

Mặt khác

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \\ \Rightarrow \frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C} \\ \Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C} \\ =\frac{117.\sin {34}^{0}44\text{'}}{\sin {77}^{0}4\text{'}}\simeq 68. \end{gathered}$$

Câu 12. Tam giác ABC có  $a=8,c=3,\widehat{B}={60}^0.$ Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ?

A.  49

B.  $\sqrt{97}$

C.  7

D.  $\sqrt{61}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ =8^2+3^2-\mathrm{2.8.3.}\cos {60}^0 \\ =49\Rightarrow b=7 \end{gathered}$$

Câu 13. Cho tam giác ABC, biết $a=13,b=14,c=15.$ Tính góc B? 

A.  ${59}^{0}49\text{'}.$

B.  ${53}^{0}7\text{'}.$

C. ${59}^{0}29\text{'}.$

D. ${62}^{0}22\text{'}.$  

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ =\frac{{13}^2+{15}^2-{14}^2}{\mathrm{2.13.15}} \\ =\frac{33}{65}\Rightarrow B\simeq {59}^{0}29\text{'}. \end{gathered}$$

Câu 14. Cho $\Delta ABC$ có $S=10\sqrt{3}$, nửa chu vi $p=10$. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:

A.  3

B.  2

C. $\sqrt{2}.$

D. $\sqrt{3}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:  

$S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}.$

Câu 15. Cho $\Delta ABC$ có $a=4,c=5,B={150}^0.$Diện tích của tam giác là:

A. $5\sqrt{3}.$

B.  5

C.  10

D. $10\sqrt{3}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}a.c.\sin B \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.4.5.}\sin {150}^0=5. \end{gathered}$$

Câu 16. Gọi $S=m_a^2+m_b^2+m_c^2$ là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

A. $S=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$.

B. $S=a^2+b^2+c^2$.

C. $S=\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)$.

D. $S=3(a^2+b^2+c^2)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:  

$$\begin{gathered} S=m_a^2+m_b^2+m_c^2 \\ =\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2+c^2}{2} \\ -\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4} \\ =\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2). \end{gathered}$$

Câu 17. Độ dài trung tuyến $m_c$ ứng với cạnh c của $\Delta ABC$ bằng biểu thức nào sau đây

A. $\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}.$

B. $\sqrt{\frac{b^2+a^2}{2}+\frac{c^2}{4}}.$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{\left(2b^2+2a^2\right)-c^2}.$

D. $\sqrt{\frac{b^2+a^2-c^2}{4}}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} m_c^2=\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4} \\ \Rightarrow m_c=\sqrt{\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{(2b^2+2a^2)-c^2} \end{gathered}$$

Câu 18. Tam giác ABC có $\cos B$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

B. $\sqrt{1-{\sin }^{2}B}.$

C. $\cos (A+C).$

D. $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ \Rightarrow \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \end{gathered}$$

Câu 19. Cho tam giác ABC có $a^2+b^2-c^2>0$ . Khi đó :

A. Góc  $C>{90}^0$

B. Góc  $C<{90}^0$

C. Góc  $C={90}^0$

D. Không thể kết luận được gì về góc C

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Mà:$a^2+b^2-c^2>0$

suy ra: $\cos C>0\Rightarrow C<{90}^0$.

Câu 20. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết :

A. Độ dài 3 cạnh

B. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ

C. Số đo 3 góc

D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2).

Câu 21. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?

A. 84

B. $\sqrt{84}.$

C. 42

D. $\sqrt{168}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 

$$\begin{gathered} p=\frac{a+b+c}{2} \\ =\frac{13+14+15}{2}=21 \end{gathered}$$

Suy ra:

 $$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ =\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \\ =84 \end{gathered}$$

Câu 22. Một tam giác có ba cạnh là 26.28,30 Bán kính đường tròn nội tiếp là: 

A. 16

B. 8

C. 4

D. $4\sqrt{2}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  

$$\begin{gathered} p=\frac{a+b+c}{2} \\ =\frac{26+28+30}{2}=42. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p} \\ =\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} \\ =\frac{\sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)}}{42} \\ =8. \end{gathered}$$

Câu 23. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

A.$\frac{65}{8}.$

B. 40

C.  32,5

D. $\frac{65}{4}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:  

$$\begin{gathered} p=\frac{a+b+c}{2} \\ =\frac{52+56+60}{2}=84. \end{gathered}$$

Suy ra:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ =\sqrt{84(84-52)(84-56)(84-60)} \\ =1344 \end{gathered}$$

Mà $S=\frac{abc}{4R}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow R=\frac{abc}{4S} \\ =\frac{\mathrm{52.56.60}}{4.1344}=\frac{65}{2} \end{gathered}$$

Câu 24. Cho tam giác ABC thỏa mãn: $2\cos A=1$. Khi đó:

A. $A={30}^0.$ 

B. $A={45}^0.$

C. $A={120}^0.$

D. $A={60}^0.$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} 2\cos A=1 \\ \iff \cos A=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A}={60}^0. \end{gathered}$$

Câu 25. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5,$\cos A=\frac{3}{5}$. Đường cao $h_a$ của tam giác ABC là

A. $\frac{\text{7}\sqrt{2}}{2}.$

B. 8

C. $\text{8}\sqrt{3}.$

D. $\text{80}\sqrt{3}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:  

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ =7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{3}{5}=32 \\ \Rightarrow a=4\sqrt{2}. \end{gathered}$$

Mặt khác: $$\begin{gathered} {\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1 \\ \Rightarrow {\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A \\ =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\Rightarrow \sin A=\frac{4}{5} \end{gathered}$$

(Vì $\sin A>0$).

Mà: $$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A \\ =\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow h_a=\frac{bc\sin A}{a} \\ =\frac{\mathrm{7.5.}\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Câu 26. Cho $\overrightarrow{a}=(2;-3)$ và $\overrightarrow{b}=(5;m)$ . Giá trị của m để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương là:

A. $-6.$

B. $-\frac{13}{2}$.

C. $-12.$ 

D. $-\frac{15}{2}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương suy ra:

$\frac{5}{2}=\frac{m}{-3}\Rightarrow m=-\frac{15}{2}.$  

Câu 27. Cho các điểm $A(1;1),B(2;4),C(10;-2).$ Góc $\widehat{BAC}$ bằng bao nhiêu?

A. ${90}^0$.

B. ${60}^0.$ 

C. ${45}^0.$

D. ${30}^0.$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;3)$,$\overrightarrow{AC}=(9;-3)$ .

Suy ra:

$$\begin{gathered} \cos \widehat{BAC}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=0 \\ \Rightarrow \widehat{BAC}={90}^0. \end{gathered}$$

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm ôn tập chương 2 có đáp án

Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng có đáp án

Trắc nghiệm Phương trình đường tròn có đáp án

Trắc nghiệm Phương trình elip có đáp án

Trắc nghiệm ôn tập chương 3 có đáp án