Trắc nghiệm Dấu của tam thức bậc hai có đáp án – Toán lớp 10

Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trong từng khoảng ta được nghiệm là A.

Cách khác:

Trường hợp 1:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left|x-1\right|-3>0\\ \left|x+2\right|-5<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x-1>3\\ x-1<-3\end{array}\right.\\ -5<x+2<5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x>4\\ x<-2\end{array}\right.\\ -7<x<3\end{array}\right. \\ \iff -7<x<-2 \end{gathered}$$

Trường hợp 2:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left|x-1\right|-3<0\\ \left|x+2\right|-5>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-3<x-1<3\\ \left[\begin{array}{l}x+2>5\\ x+2<-5\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2<x<4\\ \left[\begin{array}{l}x>3\\ x<-7\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff 3<x<4 \end{gathered}$$

Ta có

$\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}-x^2+6x-5\ge 0\\ 8-2x<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}8-2x\ge 0\\ -x^2+6x-5>{\left(8-2x\right)}^2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}1\le x\le 5\\ x>4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x\le 4\\ -5x^2+38x-69>0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}1\le x\le 5\\ x>4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x\le 4\\ 3<x<\frac{25}{3}\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff 3<x\le 5. \end{gathered}$$

Ta có: $\sqrt{2x+1}<3-x$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}2x+1\ge 0\\ 3-x>0\\ 2x+1<{\left(3-x\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -\frac{1}{2}\\ x<3\\ -x^2+8x-8<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -\frac{1}{2}\\ x<3\\ \left[\begin{array}{c}x>4+2\sqrt{2}\\ x<4-2\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff -\frac{1}{2}\le x<4-2\sqrt{2}. \end{gathered}$$

Ta có

$$\begin{gathered} 2x^2-x-6\le 0 \\ \iff -\frac{3}{2}\le x\le 2,\left(I\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^3+x^2-x-1\ge 0 \\ \iff \left(x+1\right)\left(x^2-1\right)\ge 0 \\ \iff \left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2\ge 0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x\ge 1\end{array}\right..\left(II\right) \end{gathered}$$

Từ (I) và (II) suy ra nghiệm của hệ là $S=\left[1;2\right]\cup \left\{-1\right\}$.

Đặt $t=x^2\ge 0$

Ta có $\left|t^2-2t-3\right|\le t-5$

Nếu $t^2-2t-3\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}t\le -1\\ t\ge 3\end{array}\right.$

 thì ta có :

$t^2-3t+2\le 0\iff 1\le t\le 2$ loại

Nếu $t^2-2t-3<0\iff -1<t<3$

 thì ta có

$-t^2+t+8\le 0\iff \left[\begin{array}{l}t\le \frac{1-\sqrt{33}}{2}\\ t\ge \frac{1+\sqrt{33}}{2}\end{array}\right.$

loại.

Trường hợp 1: $x\in \left[2;+\infty \right)$. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $x^2-\left(a+3\right)x+8\le 0$, $\iff a\ge x+\frac{8}{x}-3\ge 4\sqrt{2}-3\approx 2,65\forall x\in \left[2;+\infty \right)$, dấu "=" xảy ra khi $x=2\sqrt{2}$.

Trường hợp 2: $x\in \left(-\infty ;2\right).$ Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $x^2-\left(a+1\right)x+4\le 0$.

$\iff \left[\begin{array}{l}a\ge x+\frac{4}{x}-1khix\in \left(0;2\right)\left(1\right)\\ a\le x+\frac{4}{x}-1khix\in \left(-\infty ;0\right)\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải (1) ta được a >3 (theo bất đẳng thức cauchy).

Giải (2): $a\le x+\frac{4}{x}-1$

$\iff a\le -2\sqrt{x.\frac{4}{x}}-1=-5$

Vậy giá trị dương nhỏ nhất của a gần với số 2,6.

Điều kiện $x\ge -7$

Đặt $t=\sqrt{x+7}$ , điều kiện $t\ge 0$.

Ta có

$$\begin{gathered} \sqrt{t^2+1-2t}=2-\sqrt{t^2-6-t} \\ \iff \left|t-1\right|=2-\sqrt{t^2-t-6} \end{gathered}$$

Nếu $t\ge 1$ thì ta có

$$\begin{gathered} 3-t=\sqrt{t^2-t-6} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^2-t-6=9-6t+t^2\\ t\le 3\end{array}\right. \\ \iff t=3\iff \sqrt{x+7}=3 \\ \iff x=2 \end{gathered}$$

Nếu $t<1$ thì ta có

$$\begin{gathered} 1+t=\sqrt{t^2-t-6} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^2-t-6=1+2t+t^2\\ t\ge -1\end{array}\right. \\ \iff t=-\frac{7}{3}\left(l\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(x^2+x-2\right)\sqrt{2x^2-1}<0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x^2-1>0\\ x^2+x-2<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x<-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x>\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\\ -2<x<1\end{array}\right. \\ \iff x\in \left(-2;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2};1\right) \end{gathered}$$

Ta có 

$x^2-8x+7\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 7\\ x\le 1\end{array}\right.$

Ta có

$-x^2-x+6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=2\end{array}\right.$

Hệ số $a=-1<0$

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có đáp án C là đáp án cần tìm.

Tam thức có 1 nghiệm x=3 và hệ số $a=-1<0$

Vậy đáp án cần tìm là C

Nếu $x\ge -1$ thì

$$\begin{gathered} \frac{2x^2-x-1}{\left|x+1\right|-2x}\le -2x^2+x+1 \\ \iff \frac{2x^2-x-1}{1-x}\le -2x^2+x+1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \frac{2x^2-x-1-\left(1-x\right)\left(-2x^2+x+1\right)}{1-x}\le 0 \\ \iff \frac{2x^2-x-1-\left(-2x^2+x+1+2x^3-x^2-x\right)}{1-x}\le 0 \\ \iff \frac{-2x^3+5x^2-x}{1-x}\le 0 \\ \iff \frac{x\left(-2x^2+5x-1\right)}{1-x}\le 0 \end{gathered}$$

Cho $x=0$;

$$\begin{gathered} -2x^2+5x-1=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$x-1=0\iff x=1$

Lập bảng xét dấu ta có:

$0\le x\le \frac{5-\sqrt{17}}{4}\vee 1<x\le \frac{5+\sqrt{17}}{4}$

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0;2.

Nếu $x<-1$ thì

$$\begin{gathered} \frac{2x^2-x-1}{\left|x+1\right|-2x}\le -2x^2+x+1 \\ \iff \frac{2x^2-x-1}{-1-3x}\le -2x^2+x+1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \frac{2x^2-x-1-\left(-1-3x\right)\left(-2x^2+x+1\right)}{-1-3x}\le 0 \\ \iff \frac{2x^2-x-1-\left(2x^2-x-1+6x^3-3x^2-3x\right)}{-1-3x}\le 0 \\ \iff \frac{-6x^3+x^2+3x}{-1-3x}\le 0 \\ \iff \frac{x\left(-6x^2+x+3\right)}{-1-3x}\le 0 \end{gathered}$$

Cho $x=0$; $-6x^2+x+3=0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{73}}{12}\\ x=\frac{1-\sqrt{73}}{12}\end{array}\right. \\ -3x-1=0\iff x=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Lập bảng xét dấu ta có:

$\frac{1-\sqrt{73}}{12}\le x<-\frac{1}{3}\vee 0\le x\le \frac{1+\sqrt{73}}{12}$

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0 (loại)

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.

Ta có (1) có hai nghiệm phân biệt khi

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ 5m^2-2m-3>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left[\begin{array}{l}m<-\frac{5}{3}\\ m>1\end{array}\right.\end{array}\right.$

Điều kiện

$2x^2-5x+2\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le \frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số là

$\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup \left[2;+\infty \right)$

Để tam thức $f\left(x\right)=x^2-(m+2)x+8m+1$ đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \Delta >0 \\ \iff {\left(m+2\right)}^2-4\left(8m+1\right)>0 \\ \iff m^2-28m>0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m>28\\ m<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện

$$\begin{gathered} 2x^2-7x-15\ge 0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x\ge 5\\ x\le -\frac{3}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tập xác định của hàm số là

$\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right]\cup \left[5;+\infty \right)$

Ta có bảng xét dấu

Vậy $f\left(x\right)>0$ với $2<x<3$ và $f\left(x\right)<0$ với x <2 hoặc x >3.

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+3>0\\ x^2-6x+8>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x<1\\ x>3\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}x<2\\ x>4\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x<1\\ x>4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+3\ge 0\\ 2x^2-x-10\le 0\\ 2x^2-5x+3>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 1\end{array}\right.\\ -2\le x\le \frac{5}{2}\\ \left[\begin{array}{l}x<1\\ x>\frac{3}{2}\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}-1\le x<1\\ \frac{3}{2}<x<\frac{5}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có:

$-1\le \frac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}<7$

có tập nghiệm là R khi hệ sau có tập nghiệm là R

(do $2x^2-3x+2>0\forall x\in ℝ$ )

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-1\left(2x^2-3x+2\right)\le x^2+5x+m\\ x^2+5x+m<7\left(2x^2-3x+2\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}13x^2-26x+14-m>0\left(1\right)\\ 3x^2+2x+m+2\ge 0\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

 có tập nghiệm là R

Ta có (1) có tập nghiệm là R khi :

$\Delta \text{'}<0\iff -13+13m<0$ (3)

(2) có tập nghiệm là R khi

$\Delta \text{'}\le 0\iff -5-3m\le 0$

$\iff m\ge -\frac{5}{3}$ (4)

Từ (2) và (4), ta có $-\frac{5}{3}\le m<1$

Xét $\left|x-2\right|\left(x+1\right)+m=0\left(1\right)$

Với $x\ge 2$, ta có:

$$\begin{gathered} \left(1\right)\iff \left(x-2\right)\left(x+1\right)+m=0 \\ \iff m=-x^2+x+2 \end{gathered}$$

Với $x<2$, ta có:

$$\begin{gathered} \left(1\right)\iff -\left(x-2\right)\left(x+1\right)+m=0 \\ \iff m=x^2-x-2 \end{gathered}$$

Đặt $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^2+x+2\text{ khi }x\ge 2\\ x^2-x-2\text{ khi }x<2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $-\frac{9}{4}<m<0$.

Xét phương trình:

$\left|10x-2x^2-8\right|=x^2-5x+a$(1)

$\iff a=\left|10x-2x^2-8\right|-x^2+5x$

Xét

 $f\left(x\right)=\left|10x-2x^2-8\right|-x^2+5x$

$=\left\{\begin{array}{l}\left(10x-2x^2-8\right)-x^2+5x\\ \text{khi }10x-2x^2-8\ge 0\\ -\left(10x-2x^2-8\right)-x^2+5x\\ \text{khi }10x-2x^2-8<0\end{array}\right.$

$=\left\{\begin{array}{l}-3x^2+15x-8\text{khi }1\le x\le 4\\ x^2-5x+8\text{khi }x\le 1\vee x\ge 4\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $\iff 4<a<\frac{43}{4}$

Xét phương trình:

$\left|2x^2-3x-2\right|=5a-8x-x^2\left(1\right)$ 

$\begin{array}{l}\iff 5a=f\left(x\right)\\ =\left\{\begin{array}{l}\left(2x^2-3x-2\right)+8x+x^2\\ \text{khi }2x^2-3x-2\ge 0\\ -2x^2+3x+2+8x+x^2\\ \text{khi }2x^2-3x-2<0\end{array}\right.\end{array}$

$=\left\{\begin{array}{l}3x^2+5x-2\\ \text{khi }2x^2-3x-2\ge 0\\ -x^2+11x+2\\ \text{khi }2x^2-3x-2<0\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Ta thấy để :

$\left|4x-2m-\frac{1}{2}\right|>-x^2+2x+\frac{1}{2}-m$

đúng với mọi x thì

$-x^2+2x+\frac{1}{2}-m<0,\forall x\in ℝ$

Hay $-x^2+2x+\frac{1}{2}<m,\forall x\in ℝ$

$\iff 1+\frac{1}{2}-m<0\iff m>\frac{3}{2}$

Ta có

$$\begin{gathered} \left|x^2+x+a\right|+\left|x^2-x+a\right|\le 2x \\ \iff \left|{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\left(a-\frac{1}{4}\right)\right| \\ +\left|{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\left(a-\frac{1}{4}\right)\right|\le 2x \end{gathered}$$

Do vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên để BPT có nghiệm thì $2x\ge 0\iff x\ge 0$ nên B đúng.

Với $a>\frac{1}{4}$ BPT $\iff 2x^2-2x+2a\le 0$ vô nghiệm hay BPT có nghiệm khi $a\le \frac{1}{4}$ nên A đúng.

Khi $a<0$ ta có

 $x^2+x+a=0,x^2-x+a=0$

có 4 nghiệm xếp thứ tự

$x_1<x_2<x_3<x_4$

Với $x>x_4$ hoặc $x<x_1$ ta có BPT:

$2x^2-2x+2a\le 0$

Có nghiệm $x_1<x<x_2$ và $x_1+x_2=1;x_1{x}_2<0$

Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng

Ta có:

$$\begin{gathered} x^2+2\left|x+m\right|+2mx+3m^2-3m+1<0 \\ \iff {\left(x+m\right)}^2+2\left|x+m\right|+2m^2-3m+1<0 \end{gathered}$$

$\iff {\left(\left|x+m\right|+1\right)}^2<-2m^2+3m$

có nghiệm khi và chỉ khi

$-2m^2+3m>1\iff \frac{1}{2}<m<1$

Ta có:$a+1$

$$\begin{gathered} x^2+4x\le a\left(\left|x+2\right|+1\right) \\ \iff {\left(x+2\right)}^2-a\left|x+2\right|-a-4\le 0 \\ \iff {\left(x+2\right)}^2-a\left|x+2\right|+\frac{a^2}{4}\le \frac{a^2}{4}+a+4 \\ \iff {\left(\left|x+2\right|-\frac{a}{2}\right)}^2\le \frac{a^2}{4}+a+4 \end{gathered}$$

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi

$\frac{a^2}{4}+a+4\ge 0$ luôn đúng với $\forall a$.