Trắc nghiệm Bất đẳng thức có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Bất đẳng thức

Bài giảng Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Bất đẳng thức

Câu 1. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì

A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất.

B. Hình vuông có diện tích lớn nhất.

C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất.

D. Cả A, B, C đều sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si.

Câu 2. Tìm mệnh đề đúng?

A.$a<b\Rightarrow ac<bc$

B. $a<b\Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}.$

C. $a<b$ và $c<d\Rightarrow ac<bd$.

D.$a<b\Rightarrow ac<bc,\left(c>0\right)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 3. Suy luận nào sau đây đúng?

A. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$

B. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$

C. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow a-c>b-d$

D. $\left\{\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 4. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?

A. $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow a+c<b+d$

B. $\left\{\begin{array}{l}0<a<b\\ 0<c<d\end{array}\right.\Rightarrow \frac{a}{d}<\frac{b}{c}$

C. $\left\{\begin{array}{c}0<a<b\\ 0<c<d\end{array}\right.\Rightarrow ac<bd$

D. $\left\{\begin{array}{c}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow a-c<b-d$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 5. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. $a<b\Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

B. $a<b\Rightarrow ac<bc$

C. $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow ac<bd$

D. Cả A, B, C đều sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow a+c<b+d$

B. $\left\{\begin{array}{l}a\le b\\ c\le d\end{array}\right.\Rightarrow ac<bd$

C. $\left\{\begin{array}{l}a\le b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow a-c<b-d$

D. $ac\le bc\Rightarrow a\le b\left(c>0\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 7. Cho biểu thức $P=-a+\sqrt{a}$ với $a\ge 0$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{4}$.

B. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{1}{4}$.

C. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{1}{2}$.

D. P đạt giá trị lớn nhất tại $a=\frac{1}{4}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} P=-a+\sqrt{a}=-{\left(\sqrt{a}\right)}^2+\sqrt{a} \\ =\frac{1}{4}-{\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4} \end{gathered}$$

Câu 8. Cho bất đẳng thức $\left|a-b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

A. $a=b$.

B. $ab\le 0$.

C. $ab\ge 0$.

D. $ab=0$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2+3\left|x\right|$ với $x\in ℝ$ là:

A. $-\frac{9}{4}$.

B. $-\frac{3}{2}$.

C. 0.

D. $\frac{3}{2}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}{x}^2\ge 0\\ \left|x\right|\ge 0\end{array}\right\}\Rightarrow x^2+3\left|x\right|\ge 0$ 

Câu 10. Cho x,y là hai số thực bất kỳ thỏa và $xy=2$. Giá trị nhỏ nhất của $A=x^2+y^2$.

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 4.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm $x^2$ và $y^2$.

Ta có:

$$\begin{gathered} A=x^2+y^2\ge 2\sqrt{x^2{y}^2} \\ =2\sqrt{{\left(xy\right)}^2}=4 \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra $x=y=\sqrt{2}$

Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-5x+9}$ bằng

A. $\frac{11}{4}$.

B. $\frac{4}{11}$.

C. $\frac{11}{8}$.

D. $\frac{8}{11}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $x^2-5x+9$

$$\begin{gathered} ={\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}\ge \frac{11}{4}; \\ \forall x\in ℝ \end{gathered}$$

Suy ra: $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-5x+9}\le \frac{8}{11}$

 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{8}{11}$.

Câu 12. Cho $f\left(x\right)=x-x^2$. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$

B. $f\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$.

C. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-\frac{1}{4}$.

D. $f\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x-x^2 \\ =-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4} \\ =\frac{1}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4} \end{gathered}$$

 và $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$

Câu 13. Bất đẳng thức ${\left(m+n\right)}^2\ge 4mn$ tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A. $n{\left(m-1\right)}^2-m{\left(n-1\right)}^2\ge 0$

B. $m^2+n^2\ge 2mn$

C. ${\left(m+n\right)}^2+m-n\ge 0$

D. ${\left(m-n\right)}^2\ge 2mn$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

${\left(m+n\right)}^2\ge 4mn$

$\iff m^2+2mn+n^2\ge 4mn$

$\iff m^2+n^2\ge 2mn$

Câu 14. Với mọi $a,b\ne 0$, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $a-b<0$.

B. $a^2-ab+b^2<0$.              

C. $a^2+ab+b^2>0$.

D. $a-b>0$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$$\begin{gathered} a^2+ab+b^2 \\ =a^2+2a\frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4} \\ ={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}>0;\forall b\ne 0 \end{gathered}$$

Câu 15. Với hai số x, y dương thoả $xy=36$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $x+y\ge 2\sqrt{xy}=12$.

B. $x+y\ge 2xy=72$.            

C. $4xy\le x^2+y^2$.

D. ${\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2\ge xy=36$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x,y. Ta có:

$$\begin{gathered} x+y\ge 2\sqrt{xy} \\ =2\sqrt{36}=12 \end{gathered}$$

Câu 16. Cho hai số x, y dương thoả $x+y=12$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\sqrt{xy}\le 6$.

B. $xy<{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2=36$.

C. $2xy<x^2+y^2$.

D. $\sqrt{xy}\ge 6$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x, y. Ta có:

$\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}=6$

Câu 17. Cho $a,b,c>0$. Xét các bất đẳng thức:

I) $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge 8$

II) $\left(\frac{2}{a}+b+c\right)\left(\frac{2}{b}+c+a\right)\left(\frac{2}{c}+a+b\right)\ge 64$

III) $a+b+c\le abc$.

Bất đẳng thức nào đúng?

A. Chỉ I) đúng.

B. Chỉ II) đúng.

C. Chỉ I) và II) đúng.

D. Cả ba đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$1+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}};$

$1+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}$;

$1+\frac{c}{a}\ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right) \\ \ge 8\sqrt{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{a}}=8 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(I\right)$ đúng.

$\frac{1}{a}+b\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}}$;

$\frac{1}{a}+c\ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{2}{a}+b+c\ge 2\sqrt{4\sqrt{\frac{bc}{a^2}}} \\ =4\sqrt[4]{\frac{bc}{a^2}} \end{gathered}$$

Tương tự:

$\frac{2}{b}+c+a\ge 4\sqrt[4]{\frac{ac}{b^2}}$;

$\frac{2}{c}+a+b\ge 4\sqrt[4]{\frac{ab}{c^2}}$

Suy ra:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{a}+b+c\right)\left(\frac{2}{b}+c+a\right) \\ \left(\frac{2}{c}+a+b\right)\ge 64 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ (II)đúng.

Ta có:

$$\begin{gathered} 3\sqrt[3]{abc}\le a+b+c\le abc \\ \iff \sqrt[3]{{\left(abc\right)}^2}\ge 3 \end{gathered}$$

$\iff$(III) sai.

Câu 18. Cho $x,y,z>0$ và xét ba bất đẳng thức (I) $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$; (II)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le \frac{9}{x+y+z}$ ; (III) $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3$. Bất đẳng thức nào là đúng?

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ I và III đúng.

C. Chỉ III đúng.

D. Cả ba đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$x^3+y^3+z^3\ge 3\sqrt[3]{x^3{y}^3{z}^3}$

$=3xyz\Rightarrow \left(I\right)$ đúng;

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\\ x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge 9 \\ \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$(II) sai;

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}$

$=3\Rightarrow \left(III\right)$ đúng.

Câu 19. Cho $a,b>0$ và $ab>a+b$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a+b=4$ .

B. $a+b>4$ .

C. $a+b<4$ .

D. $a+b\le 4$ .

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$ .

Do đó: $ab>a+b$

$\iff \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}>a+b$

$\iff {\left(a+b\right)}^2-4\left(a+b\right)>0$

$\iff \left(a+b\right)\left(a+b-4\right)>0$

$\iff a+b-4>0$

(vì $a+b>0$) $\iff a+b>4$.

Câu 20. Cho $a<b<c<d$ và $x=\left(a+b\right)\left(c+d\right)$, $y=\left(a+c\right)\left(b+d\right)$, $z=\left(a+d\right)\left(b+c\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $x<y<z$ .

B. $y<x<z$

C. $z<x<y$

D. $x<z<y$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} x-y=\left(a+b\right)\left(c+d\right)-\left(a+c\right)\left(b+d\right) \\ =a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)-a\left(b+d\right)-c\left(b+d\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =a\left(c-b\right)+bd-cd \\ =\left(d-a\right)\left(b-c\right)<0 \end{gathered}$$

Suy ra: x < y.

Tương tự: 

$$\begin{gathered} x-z=\left(a-c\right)\left(d-b\right)<0 \\ \Rightarrow x<z \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y-z=\left(a-b\right)\left(d-c\right)<0 \\ \Rightarrow y<z \end{gathered}$$

Câu 21. Với m, n >0, bất đẳng thức: $mn\left(m+n\right)<m^3+n^3$ tương đương với bất đẳng thức

A. $\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)\ge 0$.

B. $\left(m+n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)\ge 0$.

C. $\left(m+n\right){\left(m-n\right)}^2>0$

D. Tất cả đều sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$$\begin{gathered} mn\left(m+n\right)<m^3+n^3 \\ \iff m^{2}n-m^3+m{n}^2-n^3<0 \end{gathered}$$

$\iff -m^2\left(m-n\right)+n^2\left(m-n\right)<0$

$\iff {\left(m-n\right)}^2\left(m+n\right)>0$

Câu 22. Bất đẳng thức: $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)$, $\forall a\text{ , }b\text{ , }c,d$ tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A. ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(a-\frac{c}{2}\right)}^2+{\left(a-\frac{d}{2}\right)}^2+{\left(a-\frac{e}{2}\right)}^2\ge 0$

B. ${\left(b-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(d-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(e-\frac{a}{2}\right)}^2\ge 0$

C. ${\left(b+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(c+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(d+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(e+\frac{a}{2}\right)}^2\ge 0$

D. ${\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(a-d\right)}^2+{\left(a-d\right)}^2\ge 0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$$\begin{gathered} a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \\ \ge a\left(b+c+d+e\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right) \\ +\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right) \\ +\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right) \\ +\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff {\left(b-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{a}{2}\right)}^2 \\ +{\left(d-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(e-\frac{a}{2}\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Câu 23. Cho biểu thức $f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số $f\left(x\right)$ chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.

B. Hàm số $f\left(x\right)$ chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

D. Hàm số $f\left(x\right)$ không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $f\left(x\right)\ge 0$ và $f\left(1\right)=0$;

$f\left(x\right)\le 1$ và $f\left(0\right)=1$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1.

Câu 24. Cho $a>b>0$ và $x=\frac{1+a}{1+a+a^2}$,$y=\frac{1+b}{1+b+b^2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $x>y$

B. $x<y$

C. $x=y$

D. Không so sánh được.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a+1}$

và $\frac{1}{y}=b+\frac{1}{b+1}$

Suy ra:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\left(a-b\right)\left[1-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\right]$

Do $a>b>0$ nên $a+1>1$ và $b+1>1$ suy ra:

$\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}<1$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}>0$

Vậy $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}>0$ $\iff \frac{1}{x}>\frac{1}{y}$

do $x>0$ và $y>0$ nên $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}\iff x<y$

Câu 25. Với $a,b,c,d>0$. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?

A. $\frac{a}{b}<1\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$

B. $\frac{a}{b}>1\Rightarrow \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$

C. $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$

D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{\left(a-b\right)c}{b\left(b+c\right)}$  

suy ra A, B đúng.

Câu 26. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1.

B. $f\left(x\right)$ không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.

C. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2.

D. $f\left(x\right)$ không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $0<f\left(x\right)\le 1;\forall x\in ℝ$ và $f\left(0\right)=1$ Vậy $f\left(x\right)$ không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.

Câu 27. Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3. Khi đó, tích hai số a và b

A. có giá trị nhỏ nhất là $\frac{9}{4}$.

B. có giá trị lớn nhất là $\frac{9}{4}$.

C. có giá trị lớn nhất là $\frac{3}{2}$.

D. không có giá trị lớn nhất.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì a và b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích ab.

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn có đáp án

Trắc nghiệm Dấu nhị thức bậc nhất có đáp án

Trắc nghiệm Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Trắc nghiệm Dấu của tam thức bậc hai có đáp án

Trắc nghiệm ôn tập chương 4 có đáp án