Tính giá trị của các biểu thức sau: A = sin pi/9 - sin 5pi/9 + sin 7pi/9

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$ ;

b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Lời giải:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$

$=\left(\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{7\pi }{9}}{2}.\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{7\pi }{9}}{2}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{4\pi }{9}.\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{4\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \left(\pi -\frac{4\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{5\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}=0$.

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{2}\sin 12°$  cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{4}$  sin 24° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{8}$  sin 48° cos 48°

      = $\frac{1}{16}$  sin 96°

      = $\frac{1}{16}$  sin(90° + 6°) = $\frac{1}{16}$ cos 6°.

Vậy B = $\frac{1}{16}$ .