Tính các giới hạn sau: a) lim n -> dương vô cùng (căn n^2+2n -n-2)

Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$ ;

c) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$ ;

d) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$ .

Lời giải:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+2n-{\left(n+2\right)}^2}{\sqrt{n^2+2n}+n+2}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-2n-4}{\sqrt{n^2+2n}+n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=\frac{-2}{2}=-1$.

b)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(2+n^2\right)}^2-\left(n^4+1\right)}{2+n^2+\sqrt{n^4+1}}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+3}{2+n^2+\sqrt{n^4+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}=\frac{4}{2}=2$.

c) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1\right)=+\infty$ .

d) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$ $=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}\right)=+\infty$ .