Tính lim n-> dương vô cùng 1+3+5+...+(2n-1)/n^2+2n

Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$ .

Lời giải:

Ta có 1, 3, 5, ..., 2n – 1 là một cấp số cộng gồm n số hạng và có số hạng đầu u₁ = 1, công sai d = 2.

Khi đó, 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = $\frac{n\left(1+2n-1\right)}{2}=n^2$ .

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$ $=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+2n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1$ .