Lý thuyết Bài tập cuối chương 2 chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Toán 6 Ôn tập cuối chương 2 – Kết nối tri thức

I. Quan hệ chia hết và tính chất

1. Quan hệ chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b (b $\ne$ 0).

Nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb thì ta nói a chia hết cho b kí hiệu là a  b.

Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu là a $\cancel{⋮}$ b.

+ Ước và bội:

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Ta kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.

+ Cách tìm ước và bội:

Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; …

2. Tính chất chia hết của một tổng

+ Tính chất 1

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

- Nếu a $⋮$ m và b $⋮$ m thì (a + b) $⋮$ m.

- Nếu a $⋮$ m, b $⋮$ m và c $⋮$ m thì (a + b + c) $⋮$ m.

+ Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

- Nếu a $⋮$ m và b $\cancel{⋮}$ m thì $\left(a+b\right)\cancel{⋮}m$.

- Nếu a $⋮$ m, b $⋮$ m và c $\cancel{⋮}$ m thì (a + b + c) $\cancel{⋮}$ m.

Chú ý: Hai số không chia hết cho một số đã cho thì chưa chắc tổng của chúng không chia hết cho số đó.

II. Dấu hiệu chia hết

1. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

2. Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

Chú ý: Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9.

III. Số nguyên tố

1. Số nguyên tố và hợp số

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi số đều có thể phân tích ra tích của các thừa số nguyên tố

Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cây

Ví dụ. Phân tích 36 ra tích các thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây:

Vậy $36=2^2{.3}^2$.

+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cột

Ví dụ. Phân tích 36 ra tích các thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cột:

Vậy $36=2^2{.3}^2$ .

IV. Ước chung, ước chung lớn nhất

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Ta kí hiệu:

ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.

ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Nhận xét:

- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Nếu a $⋮$ b thì Ư CLN(a, b) = b.

- Số 1 chỉ có 1 ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

3. Rút gọn về phân số tối giản

Vận dụng ƯCLN để rút gọn về phân số tối giản

Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 (nếu có).

Phân số $\frac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.

V. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu a $⋮$ b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm BCNN của các số đã cho.

Bước 2. Tìm các bội của BCNN đó.

3. Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Bài tập

Bài 1. Tìm $x\in \left\{25;36;1024;2013;2151\right\}$  sao cho:

a) x – 10 chia hết cho 2;

b) x + 12 chia hết cho 3;

c) x + 50 chia hết cho 5;

d) x + 27 chia hết cho 9.

Lời giải

a) Vì 10 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 2.

Do đó để x – 10 chia hết cho 2 thì x phải chia hết cho 2.

Mà $x\in \left\{25;36;1024;2013;2151\right\}$

Suy ra $x\in \left\{36;1024\right\}$.

Vậy $x\in \left\{36;1024\right\}$ .

Vậy $x\in \left\{36;1024\right\}$  thì x – 10 chia hết cho 2.

b) Vì 12 chia hết cho 3

Do đó để x + 12 chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3.

Mà $x\in \left\{25;36;1024;2013;2151\right\}$.

Ta có 2 + 5 = 7 không chia hết 3 nên 25 không chia hết cho 3;

3 + 6 = 9 chia hết cho 3 nên 36 chia hết cho 3;

1 + 0 + 2 + 4 = 7 không chia hết cho 3 nên 1024 không chia hết cho 3;

2 + 0 + 1 + 3 = 6 chia hết cho 3 nên 2013 chia hết cho 3;

2 + 1 + 5 + 1 = 9 chia hết cho 3 nên 2151 chia hết cho 3.

Suy ra $x\in \left\{36;2013;2151\right\}$.

Vậy $x\in \left\{36;2013;2151\right\}$ thì x + 12 chia hết cho 3.

c) 50 có chữ số tận cùng là 0 nên 50 chia hết cho 5

Để x + 50 chia hết cho 5 thì x phải chia hết cho 5.

Mà $x\in \left\{25;36;1024;2013;2151\right\}$ .

Suy ra x = 25.

Vậy x = 25 thì x + 50 chia hết cho 5.

d) Vì 27 chia hết cho x

Để x + 27 chia hết cho 9 thì x phải chia hết cho 9.

Ta có 2 + 5 = 7 không chia hết 9 nên 25 không chia hết cho 9;

3 + 6 = 9 chia hết cho 9 nên 36 chia hết cho 9;

1 + 0 + 2 + 4 = 7 không chia hết cho 9 nên 1024 không chia hết cho 9;

2 + 0 + 1 + 3 = 6 không chia hết cho 9 nên 2013 chia hết cho 9;

2 + 1 + 5 + 1 = 9 chia hết cho 9 nên 2151 chia hết cho 9.

Suy ra $x\in \left\{36;2151\right\}$.

Vậy $x\in \left\{36;2151\right\}$ thì x + 27 chia hết cho 9.

Bài 2. Tìm ƯCLN và BCNN của:

a) 54 và 72;

b) 70 và 105.

Lời giải

a) 54 = 3³.2, 72 = 3².2³

ƯCLN(54, 72) = 3².2 = 9.2 = 18.

BCNN(54, 72) = 3³.2³ = 216.

b) 70 = 2.5.7, 105 = 3.5.7.

ƯCLN(70, 105) = 5.7 = 35.

BCNN(70, 105) = 2.3.5.7 = 210.

Bài 3. Thực hiện phép tính

a) $\frac{11}{25}-\frac{9}{35};$                                                           b) $\frac{4}{16}+\frac{1}{36}.$

Lời giải

a) $\frac{11}{25}-\frac{9}{35}=\frac{11.7}{25.7}-\frac{9.5}{35.5}=\frac{77}{175}-\frac{45}{175}=\frac{77-45}{175}=\frac{32}{175}$;

b) $\frac{4}{16}+\frac{1}{36}=\frac{4.9}{16.9}+\frac{1.4}{36.4}=\frac{36}{144}+\frac{4}{144}=\frac{40}{144}=\frac{5}{18}$.

B. Trắc nghiệm Bài tập cuối Chương 2 (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

Câu 1. Cho các số sau: 112; 345; 256; 1 045; 20 134. Có bao nhiêu số chia hết cho 2.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là: 0; 2; 4; 6; 8.

Trong các số đã cho các số chia hết cho:112; 256; 20 134.

Vậy có 3 số trong các số đã cho chia hết cho 2.

Đáp án: D

Câu 2. Tìm x {55; 67; 79; 84} sao cho x – 12 chia hết cho 3.

A. x = 55;

B. x = 67;

C. x = 79;

D. x = 84.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Vì 12 = 3.4 nên 12 chia hết cho 3.

Do đó để x – 12 chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3.

Trong các số ta thấy 84 là thỏa mãn chia hết cho 3 vì 8 + 4 = 12 chia hết cho 3.

Đáp án: D

Câu 3. Thay * trong số  bằng chữ số thích hợp để số đó chia hết cho 9.

A. 7;

B. 8;

C. 2;

D. 5.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Ta có 2 + 3 + * + 5 = 10 + *.

Để số đã cho chia hết cho 9 thì 10 + * phải chia hết cho 9.

Nên * thuộc {8; 17; 26; …}.

Mà * là chữ số nên * = 8.

Đáp án: B

Câu 4. Trong các số nào dưới đây số nào chia hết cho 5.

A. 11 234 005;

B. 1 267;

C. 567;

D. 6 559.

Hiển thị đáp án

Lời giải Số 11 234 005 có tận cùng là chữ số 5 nên số này chia hết cho 5.

Đáp án: A

Câu 5. Cho các số sau: 113; 321; 729; 811. Có bao nhiêu số là số nguyên tố?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Dựa vào bảng số nguyên tố cuối sách giáo khoa, ta có: 113 và 811 là hai số nguyên tố.

Vậy có 2 số nguyên tố trong các số đã cho.

Đáp án: B

Câu 6. Kết quả khi phân tích 204 ra tích các thừa số nguyên tố:

A. 2.3.17;

B. 2.3².17;

C. 2².3².17;

D. 2².3.17.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Ta có: 

204 102 51 17 1

2 2 3 17

Vậy 204 = 2².3.17.

Đáp án: D

Câu 7. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết tổng(hiệu) nào dưới đây chia hết cho 5.

A. 123 + 50;

B. 145 300 + 34 + 570;

C. 12 760 – 105;

D. 875 – 234 – 120.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Ta có 12 760 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5; 

105 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5.

Vậy 12 760 – 105 chia hết cho 5.

Đáp án: C

Câu 8. Hợp số là gì:

A. Hợp số là số tự nhiên.

B. Hợp số là số tự nhiên khác 0 có hai ước.

C. Hợp số là số tự nhiên khác 0 có nhiều hơn hai ước.

D. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước.

Hiển thị đáp án

Lời giải Hợp số là các số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.

Đáp án: C

Câu 9. Điền từ thích hợp vào chỗ chấm: “Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số tự nhiên là số ……. các bội chung của các số đó.”

A. nhỏ nhất.

B. lớn nhất.

C. nguyên tố.

D. hợp số.

Hiển thị đáp án

Lời giải Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất các bội chung của các số đó.

Đáp án: A

Câu 10. Điền số thích hợp vào ô trống:

A.  

B.  

C.  

D.  

Hiển thị đáp án

Lời giải

Ta có: 

Đáp án: B

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 13: Tập hợp các số nguyên

Lý thuyết Bài 14: Phép cộng và phép trừ số nguyên

Lý thuyết Bài 15: Quy tắc dấu ngoặc

Lý thuyết Bài 16: Phép nhân số nguyên

Lý thuyết Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên