Giải Toán 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 62 Tập 2

Thực hành 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 tại điểm A(4; 6).

Lời giải:

Phương trình đường tròn (C): x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a² + b² − c = 1² + 2² + 20 = 25.

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 tại điểm A(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

Vận dụng 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình: (x − 1)² + (y − 1)² = $\frac{169}{144}$ .

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm $M\left(\frac{17}{12};2\right)$  thì buông đĩa (Hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M.

Lời giải:

Đường tròn (C): (x − 1)² + (y − 1)² = $\frac{169}{144}$ có tâm I(1; 1).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

(1 − $\frac{17}{12}$ )(x − $\frac{17}{12}$ ) + (1 − 2)(y − 2) = 0 ⇔  $\frac{5}{12}$x + y − $\frac{373}{144}$  = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là $\frac{5}{12}$ x + y − $\frac{373}{144}$  = 0.

Bài tập 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² − 6x − 8y + 21 = 0;

b) x² + y² − 2x + 4y + 2 = 0;

c) x² + y² − 3x + 2y + 7 = 0;

d) 2x² + 2y² + x + y – 1 = 0.

Lời giải:

a)  Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: a² + b² − c = 3² + 4² – 21 = 4 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt{4}$ = 2.

b) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1, b = −2, c = 2.

Ta có: a² + b² − c = 1² + (−2)² – 2 = 3 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; −2) và có bán kính R = $\sqrt{3}$ .

c) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = $\frac{3}{2}$ , b = −1, c = 7.

Ta có: a² + b² − c =  ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ + (−1)²  −7 = −3,75 < 0.

Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d) Ta có: 2x² + 2y² + x + y – 1 = 0 ⇔ x² + y² + $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{2}$ y − $\frac{1}{2}$  = 0.

Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = $-\frac{1}{4}$ , b =  $-\frac{1}{4}$ , c = $-\frac{1}{2}$

Ta có: a² + b² − c = ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2$ + ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2$  + $\frac{1}{2}$  = $\frac{5}{8}$  > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{4}\right)$  và bán kính R = $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Bài tập 2 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2:  Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b) (C) có đường kính MN với M(3; −1) và N(9; 3);

c) (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x − 12y +  11= 0;

d) (C) có tâm A(1; −2) và đi qua điểm B(4; −5).

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là: (x − 1)² + (y − 5)² = 16.

b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của MN ⇒ $I\left(\frac{3+9}{2};\frac{-1+3}{2}\right)$  ⇒ I(6; 1)

Ta có: $\overrightarrow{MI}$  = (6−3; 1+1) = (3; 2)

R = MI = $\left|\overrightarrow{MI}\right|$ = $\sqrt{3^2+2^2}$  = $\sqrt{13}$ .

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính R =  $\sqrt{13}$ là: (x − 6)² + (y − 1)² = 13.

c) Gọi ∆ là đường thẳng 5x − 12y +  11= 0.

Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 5x − 12y + 11 = 0 nên bán kính R = d(I, ∆)

d(I, ∆) = $\frac{|5.2-12.1+11|}{\sqrt{5^2+{(-12)}^2}}$  = $\frac{9}{13}$ .

⇒ R = d(I, ∆) = $\frac{9}{13}$ .

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính R = $\frac{9}{13}$  là: (x − 2)² + (y − 1)² = $\frac{81}{169}$

d) Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (4−1; −5+2) = (3; −3) ⇒ AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$  = $\sqrt{3^2+{(-3)}^2}$  = $3\sqrt{2}$ .

Vì (C) có tâm A(1; −2) và đi qua điểm B(4; −5) nên bán kính R = AB =  $3\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) tâm A(1; −2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$  là: (x − 1)² + (y + 2)² = 18.

Bài tập 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2:  Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b) A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0).

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}{2}^2+5^2-4a-10b+c=0\\ 1^2+2^2-2a-4b+c=0\\ 5^2+4^2-10a-8b+c=0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}-4a-10b+c=-29\\ -2a-4b+c=-5\\ -10a-8b+c=-41\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}a=3\\ b=3\\ c=13\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: x² + y² − 6x − 6y + 13 = 0.

b) Phương trình đường tròn có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}{6}^2-12b+c=0\\ 7^2+7^2-14a-14b+c=0\\ 8^2-16a+c=0\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{c}-12b+c=-36\\ -14a-14b+c=-98\\ -16a+c=-64\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}a=4\\ b=3\\ c=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:  x² + y² − 8x − 6y = 0.

Bài tập 4 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2:  Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Lời giải:

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) ⇒ R = a = b ⇒ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x − a)² + (y − a)² = a².

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên (4 − a)² + (2 − a)² = a²

⇔ 16 − 8a + a² + 4 − 4a + a² = a²

⇔ a² − 12a + 20 = 0 ⇔ a = 10 hoặc a = 2

Với a = 10 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 10)² + (y − 10)² = 100.

Với a = 2 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 2)² + (y − 2)² = 4.

Vậy (C): (x − 10)² + (y − 10)² = 100 hoặc (C): (x − 2)² + (y − 2)² = 4.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

Giải Toán 10 trang 60 Tập 2

Giải Toán 10 trang 61 Tập 2

Giải Toán 10 trang 62 Tập 2

Giải Toán 10 trang 63 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10