Giải Toán 10 trang 61 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 61 Tập 2

Thực hành 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² − 2x − 4y – 20 = 0;                       

b) (x + 5)² + (y + 1)² = 121;

c) x² + y² − 4x − 8y + 5  = 0;                           

d) 2x² + 2y² + 6x + 8y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a² + b² − c = 1² + 2² + 20 = 25 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

b) Phương trình có dạng (x − a)² + (y − b)²  = R² với a = −5; b = −1; R = 11.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(−5; −1) và bán kính R = 11.

c) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: a² + b² − c  = 2² + 4² – 5 = 15 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = $\sqrt{15}$ .

d) Ta có: 2x² + 2y² + 6x + 8y – 2 = 0 ⇔ x² + y² + 3x + 4y – 1 = 0.

Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = $-\frac{3}{2}$ ; b = −2; c = −1.

Ta có: a² + b² − c  = ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2$ + (−2)² + 1 = $\frac{29}{4}$  > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I\left(-\frac{3}{2};-2\right)$  và bán kính R = $\frac{\sqrt{29}}{2}$ .

Vận dụng 1 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.

Lời giải:

Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là: (x − 30)² + (y − 40)² = 50² hay (x − 30)² + (y − 40)² = 2 500

Vậy phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là (x − 30)² + (y − 40)² = 2 500.

Vận dụng 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ để đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu sáng đang rọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình (x – 13)² + (y − 4)² = 16.

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của ba diễn viên như sau: A(11; 4), B(8; 5), C(15; 5). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Lời giải:

a) Đường tròn (C): (x – 13)² + (y − 4)² = 16 có tâm I(13; 4) và bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(13; 4) và bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

 (11 − 13)² + (4 − 4)² = 4 < 16 

⇒ Diễn viên A đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

Do vậy diễn viên A đang được đèn chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm B(8; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

 (8 − 13)² + (5 − 4)² = 26 >16 

⇒ Diễn viên B đứng ngoài vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên B không được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm C(15; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được: 

(15 − 13)² + (5 − 4)² = 5 < 16 ⇒ Diễn viên C đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên C đang được chiếu sáng.

Vậy diễn viên A và C đang được đèn chiếu sáng, diễn viên B không được chiếu sáng.

Hoạt động khám phá 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M₀(x₀;y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) và cho điểm M(x; y) tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀.

a) Viết tọa độ của hai vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ và $\overrightarrow{M_{0}I}$ .

b) Viết biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ và  $\overrightarrow{M_{0}I}$.

c) Phương trình $\overrightarrow{M_{0}M}$ . $\overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 là phương trình của đường thẳng nào?

Lời giải:

a) Ta có : $\overrightarrow{M_{0}M}$  = (x – x₀; y – y₀); $\overrightarrow{M_{0}I}$ = (a – x₀; b – y₀)

b) Ta có: $\overrightarrow{M_{0}M}$ . $\overrightarrow{M_{0}I}$ = (x – x₀).(a – x₀) + (y – y₀).(b – y₀)

c) Phương trình $\overrightarrow{M_{0}M}$ . $\overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 tức là

(x – x₀).(a – x₀) + (y – y₀).(b – y₀) = 0 ⇔ (a – x₀).(x – x₀) + (b – y₀).(y – y₀) = 0 (1)

Mặt khác:

Vì Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀ nên M₀I ⊥ Δ

⇒ Đường thẳng Δ nhận $\overrightarrow{M_{0}I}$  = (a – x₀; b – y₀) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó, đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{M_{0}I}$  = (a – x₀; b – y₀) có phương trình là: (a – x₀).(x – x₀) + (b – y₀).(y – y₀) = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{M_{0}M}$ . $\overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 là phương trình đường thẳng Δ.

Vậy phương trình $\overrightarrow{M_{0}M}$ . $\overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 là phương trình của đường thẳng Δ.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

Giải Toán 10 trang 60 Tập 2

Giải Toán 10 trang 61 Tập 2

Giải Toán 10 trang 62 Tập 2

Giải Toán 10 trang 63 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10