Chứng minh rằng nếu a, b, c khác 0, a + b + c = 0 thì 1/ab+1/bc+1/ca=0

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Bài tập 6.21 trang 10 SBT Toán 8 Tập 2:

a) Chứng minh rằng nếu a, b, c ≠ 0, a + b + c = 0 thì $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0$.

b) Chứng minh rằng nếu x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x thì:

$\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}=0$.

Lời giải:

a) Với a, b, c ≠ 0, ta có:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

$=\frac{c}{abc}+\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}$

$=\frac{a+b+c}{abc}$

Mà a + b + c = 0 nên ta suy ra: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{0}{abc}=0$ (điều cần phải chứng minh).

b) Với x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x, ta có:

$\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}$

$=\frac{z-x}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{x-y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}$

$=\frac{z-x+x-y+y-z}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{0}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=0$.

Vậy $\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}=0$ (điều cần phải chứng minh).