Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 7

    Lời giải Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7.

    1 575 01/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 7

    Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

    a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

    b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

    Lời giải:

    a)

    GT

    ∆ABC cân tại A,

    G là trọng tâm,

    H là trực tâm,

    I là giao điểm của ba đường phân giác,

    O là giao điểm của ba đường trung trực.

    Các điểm A, G, H, I, O phân biệt

    KL

    Các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

    Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

    Giải Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

    +) Gọi M là trung điểm của BC.

    Khi đó AM là đường trung tuyến của ∆ABC.

    Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.

    Do đó A, G, M thẳng hàng (1).

    +) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

    Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và ABC^=ACB^.

    Xét ∆AMB và ∆AMC có:

    AK là cạnh chung,

    MB = MC (chứng minh trên),

    AB = AC (chứng minh trên),

    Do đó ∆AMB = ∆AMC (c.c.c).

    Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng)

    Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù) nên AMB^=AMC^=180°2=90°.

    Do đó AM ⊥ BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

    Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.

    Do đó A, H, M thẳng hàng (2).

    +) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

    Xét ∆OBM và ∆OCM có:

    OK là cạnh chung,

    OB = OC (chứng minh trên),

    MB = MC (chứng minh trên),

    Do đó ∆OBM = ∆OCM (c.c.c).

    Suy ra OMB^=OMC^ (hai góc tương ứng)

    Mà OMB^+OMC^=180° (hai góc kề bù) nên OMB^=OMC^=180°2=90°.

    Do đó OK ⊥ BC.

    Lại có AM ⊥ BC (chứng minh trên)

    Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).

    +) Do BI là tia phân giác của ABC^ nên IBC^=12ABC^.

    Do CI là tia phân giác của ACB^ nên ICB^=12ACB^.

    Mà ABC^=ACB^ (chứng minh trên) nên IBC^=ICB^ 

    Tam giác IBC có IBC^=ICB^ nên tam giác IBC cân tại I, do đó IB = IC.

    Xét ∆IBM và ∆ICM có:

    IB = IC (chứng minh trên),

    IBM^=ICM^ (do IBC^=ICB^),

    MB = MC (chứng minh trên),

    Do đó ∆IBM = ∆ICM (c.g.c).

    Suy ra IMB^=IMC^(hai góc tương ứng)

    Mà IKB^+IKC^=180° (hai góc tương ứng) nên IMB^=IMC^=180°2=90°.

    Do đó IM ⊥ BC.

    Lại có AM ⊥ BC (chứng minh trên)

    Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).

    Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.

    Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

    b)

    GT

    ∆ABC,

    G là trọng tâm,

    H là trực tâm,

    I là giao điểm của ba đường phân giác,

    O là giao điểm của ba đường trung trực.

    Các điểm A, G, H, I, O phân biệt,

    A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng.

    KL

    Tam giác ABC cân tại A.

    Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

    Giải Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

    Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.

    Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

    Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.

    Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.

    Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.

    Mà AI là tia phân giác của BAC^ nên AM là đường phân giác của BAC^.

    Do đó MAB^=MAC^.

    Xét ∆ABM (vuông tại M) và ∆ACM (vuông tại M) có:

    MAB^=MAC^ (chứng minh trên),

    AM là cạnh chung,

    Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

    Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

    Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

    Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

    Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 1 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có A^=42°,B^=37°. a) Tính C^. b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA...

    Bài 2 trang 119 Toán 7 Tập 2: Tìm các số đo x, y trong Hình 140...

    Bài 3 trang 119 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt...

    Bài 4 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP...

    Bài 5 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N...

    Bài 6 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có ABC^=70°. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H...

    Bài 7 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC...

    Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc...

    Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực...

    Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng...

    Bài 11 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có M^=40°,N^=70°. Khi đó P^ bằng: A. 10° B. 55°; C. 70°; D. 110°...

    Bài 12 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây...

    Bài 13 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào...

    Bài 14 trang 120 Toán 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số MGMI bằng...

    Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

    Chủ đề 3: Dung tích phổi

    Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

    Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

    Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

    Bài 4: Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc dấu ngoặc

    Tham khảo các loạt bài Toán 7 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 575 01/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: