Cho hình vuông ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình 6)

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 7 trang 48

Bài 7 trang 49 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình 6). Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. S_MNPQ = $\frac{1}{4}$S_ABCD ;

B. S_MNPQ = $\frac{1}{3}$S_ABCD ;

C. S_MNPQ = S_ABCD ;

D. S_MNPQ = $\frac{1}{2}$S_ABCD .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên

AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

Suy ra AM² + QA² = MB² + BN² = NC² + CP² = PD² + DQ²,

Khi đó MQ² = MN² = NP² = PQ² hay MQ = MN = NP = PQ,

Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi (1)

• Vì AM = AQ nên ∆AMQ vuông cân tại A, suy ra $\widehat{AMQ}$ = 45°.

• Vì BM = BN nên ∆BMN vuông cân tại B, suy ra $\widehat{BMN}$ = 45°.

Mà $\widehat{AMQ}$ + $\widehat{QMN}$ + $\widehat{BMN}$ = 180°, suy ra $\widehat{QMN}$ = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình vuông.

S_ABCD = AB² ; S_MNPQ = MQ²

MQ² = AM² + QA² = ${\left(\frac{1}{2}AB\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}AD\right)}^2$

= $\frac{1}{4}$AB² + $\frac{1}{4}$AD² = $\frac{1}{4}$AB² + $\frac{1}{4}$AB² = $\frac{1}{2}$AB².

Do đó S_MNPQ = $\frac{1}{2}$S_ABCD.