Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1 trang 13 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) ${\left(4x-5\right)}^2$;

b) ${\left(3x+\frac{1}{3}y\right)}^2$;

c) ${\left(-x+0,3\right)}^2$;

d) ${\left(-x-10y\right)}^2$;

e) ${\left(a^3-3a\right)}^2$;

g) ${\left(a^4+\frac{1}{2}{a}^2\right)}^2$.

Lời giải:

a) ${\left(4x-5\right)}^2={\left(4x\right)}^2-2.4x.5+5^2=16x^2-40x+25$;                      

b) ${\left(3x+\frac{1}{3}y\right)}^2={\left(3x\right)}^2+2.3x.\frac{1}{3}y+{\left(\frac{1}{3}y\right)}^2=9x^2+2xy+\frac{1}{9}{y}^2$;                 

c) ${\left(-x+0,3\right)}^2={\left(-x\right)}^2+2.\left(-x\right).0,3+0,3^2=x^2-0,6x+0,09$;

d) (–x – 10y)² = (‒x)² + 2.(‒x).(‒10y) + (‒10y)² = x² + 20xy + 100y².             

e) ${\left(a^3-3a\right)}^2={\left(a^3\right)}^2-2.a^3.3a+{\left(3a\right)}^2=a^6-6a^4+9a^2$;                 

g) ${\left(a^4+\frac{1}{2}{a}^2\right)}^2={\left(a^4\right)}^2+2.a^4.\frac{1}{2}{a}^2+{\left(\frac{1}{2}{a}^2\right)}^2=a^8+a^6+\frac{1}{4}{a}^4$.

Bài 2 trang 13 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $\left(1-4x\right)\left(1+4x\right)$;

b) $\left(-2x-5y\right)\left(2x-5y\right)$;

c) $\left(x^3-3x\right)\left(3x+x^3\right)$;

d) $\left(1+x+x^2\right)\left(1+x-x^2\right)$.

Lời giải:

a) $\left(1-4x\right)\left(1+4x\right)=1^2-{\left(4x\right)}^2=1-16x^2$;

b)

$$\begin{gathered} \left(-2x-5y\right)\left(2x-5y\right)=-\left(2x+5y\right)\left(2x-5y\right) \\ =-\left[{\left(2x\right)}^2-{\left(5y\right)}^2\right]=-4x^2+25y^2 \end{gathered}$$

c) 

$$\begin{gathered} \left(x^3-3x\right)\left(3x+x^3\right)=\left(x^3-3x\right)\left(x^3+3x\right) \\ ={\left(x^3\right)}^2-{\left(3x\right)}^2=x^6-9x^2 \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} \left(1+x+x^2\right)\left(1+x-x^2\right)={\left(1+x\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2 \\ =-x^4+x^2+2x+1 \end{gathered}$$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:

a) $50,5^2-50,4^2$;

b) $202.198$;

c) $10,2^2$;

d) ${101}^2-202.71+{71}^2$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} 50,5^2-50,4^2=\left(50,5-50,4\right)\left(50,5+50,4\right) \\ =0,1.100,9=10,09 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 202.198=\left(200+2\right)\left(200-2\right) \\ ={200}^2-2^2=40000-4=39996 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} 10,2^2={\left(10+0,2\right)}^2={10}^2+\mathrm{2.10.0},2+0,2^2 \\ =100+4+0,04=104,04 \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} {101}^2-202.71+{71}^2={101}^2-\mathrm{2.101.71}+{71}^2 \\ ={\left(101-71\right)}^2={30}^2=900 \end{gathered}$$

Bài 4 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

Bài 5 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Thu gọn các biểu thức sau:

a) 20x² – (5x – 4)(4 + 5x);

b) (x – y)² – x(x + 2y);

c) (x + 3)³(x – 3)³;

d) x(x – 1)(x + 1) – (x − 3)(x² + 3x + 9).

Lời giải:

a) 20x² – (5x – 4)(4 + 5x)

= 20x² – [(5x – 4)(5x + 4)]

= 20x² ‒ [(5x)² ‒ 4²]

= 20x² ‒ (25x² ‒16)

= 20x² ‒ 25x² + 16

= 16 ‒ 5x².

b) (x – y)² – x(x + 2y)

= x² ‒ 2xy + y² ‒ x² ‒ 2xy

= (x² ‒ x²) + (‒2xy ‒ 2xy) + y²

= ‒4xy + y².

c) (x + 3)³ ‒ (x – 3)³

= x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 27 ‒ (x³ ‒ 3.x².3 + 3.x.3² ‒ 27)

= x³ + 9x² + 27x + 27 ‒ x³ + 9x² ‒ 27x + 27

= (x³ ‒ x³) + (9x² + 9x²) + (27x ‒ 27x) + 27 + 27

= 18x² + 54.

d) x(x – 1)(x + 1) – (x − 3)(x² + 3x + 9)

= x[(x – 1)(x + 1)] ‒ (x³ ‒ 3³)

= x(x² ‒ 1) ‒ (x³ – 27)

= x³ ‒ x ‒ x³ + 27

= (x³ ‒ x³) ‒ x + 27

= 27 ‒ x.

Bài 6 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Biết rằng $x=2a+b$ và $y=2a-b$. Tính giá trị các biểu thức sau theo a và b

a) $A=\frac{1}{2}xy$;

b) $B=x^2+y^2$;

c) $C=x^2-y^2$;

Lời giải:

a) Với $x=2a+b$ và $y=2a-b$ ta có: 

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\left(2a+b\right)\left(2a-b\right) \\ =\frac{1}{2}\left[{\left(2a\right)}^2-b^2\right]=\frac{1}{2}.4a^2-\frac{1}{2}{b}^2 \\ =2a^2-\frac{b^2}{2} \end{gathered}$$

b) Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức B = x² + y², ta được:

B = (2a + b)² + (2a ‒ b)²

= (2a)² + 2.2a.b + b² + (2a)² ‒ 2.2a.b + b²

= 4a² + 4ab + b² + 4a² ‒ 4ab + b²

= (4a² + 4a²) + (4ab ‒ 4ab) + (b² + b²)

= 8a² + 2b².

c) Cách 1:

Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức C = x² – y², ta được:

C = (2a + b)² ‒ (2a ‒ b)²

= (2a)² + 2.2a.b + b² ‒ [(2a)² ‒ 2.2a.b + b²]

= 4a² + 4ab + b² ‒ 4a² + 4ab ‒ b²

= (4a² ‒ 4a²) + (4ab + 4ab) + (b² ‒ b²)

= 8ab.

Cách 2:

Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức C = x² – y², ta được:

C = (2a + b)² ‒ (2a ‒ b)²

= [(2a + b) – (2a – b)].[(2a + b) + (2a – b)]

= (2a + b – 2a + b)(2a + b + 2a – b)

= 2b.4a = 8ab.

Bài 7 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) ${337}^3+{163}^3$ chia hết cho 500;

b) ${234}^3-{123}^3$ chia hết cho 3;

Lời giải:

a) 

$$\begin{gathered} {337}^3+{163}^3=\left(337+163\right)\left({337}^2-337.163+{163}^2\right) \\ =500.\left({337}^2-337.163+{163}^2\right)⋮500 \end{gathered}$$

b) 

$$\begin{gathered} {234}^3-{123}^3=\left(234-123\right)\left({234}^2+234.123+{123}^2\right) \\ =111\left({234}^2+234.123+{123}^2\right) \end{gathered}$$

Vì $111⋮3$ nên $111\left({234}^2+234.123+{123}^2\right)⋮3$. Do đó, ${234}^3-{123}^3$ chia hết cho 3.

Bài 8 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n

a) ${(2n+1)}^2-{(2n-1)}^2$ chia hết cho 8

b) ${(8n+4)}^2-{(2n+1)}^2$ chia hết cho 15

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(2n+1\right)}^2-{\left(2n-1\right)}^2 \\ =(2n+1+2n-1)\left(2n+1-2n+1\right) \\ =4n.2=8n⋮8 \end{gathered}$$

 với mọi số nguyên n.

b) Ta có: 

$$\begin{gathered} {\left(8n+4\right)}^2-{\left(2n+1\right)}^2 \\ =\left(8n+4+2n+1\right)\left(8n+4-2n-1\right) \\ =\left(10n+5\right)\left(6n+3\right) \end{gathered}$$

$=15{\left(2n+1\right)}^2⋮15$ với mọi số nguyên n

Bài 9 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Thay mỗi dấu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.

a) ${\left(a+\ast \right)}^2=a^2+4ab+4b^2$;

b) ${\left(x-\ast \right)}^2=x^2-8ax+16a^2$;

c) ${\left(\ast -5y\right)}^2=0,16x^2-\ast +25y^2$;

d) ${\left(3x-0,5y\right)}^2=9x^2+0,25y^2+\ast$.

Lời giải:

Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức để tìm *:

a) ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$

b, c, d) ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

Bài 10 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $\left(x^2+4y^2\right)\left(x+2y\right)\left(x-2y\right)$;

b) $\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)$.

Lời giải:

a) (x² + 4y²)(x + 2y)(x – 2y)

= (x² + 4y²)[(x + 2y)(x – 2y)]

= (x² + 4y²)[x² ‒ (2y)²]

= (x² + 4y²)(x² + 4y²)

= (x²)² ‒ (4y²)² = x⁴ ‒ 16y⁴.

b) (x – 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)

= [(x – 1)(x + 1)](x² + 1)(x⁴ + 1)

= (x² ‒ 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)

= [(x² ‒ 1)(x² + 1)](x⁴ + 1)

= [(x²)² ‒ 1²] (x⁴ + 1)

= (x⁴ ‒ 1)(x⁴ + 1)

= (x⁴)² ‒ 1 = x⁸ ‒ 1.

Bài 11 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\left(a+b\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2=4ab$;

b) $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left[{\left(a-b\right)}^2+ab\right]$;

c) $2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+{\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2=4a^2$;

d) ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$.

Lời giải:

a) ${\left(a+b\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2$

$=\left(a^2-a^2\right)+\left(2ab+2ab\right)+\left(b^2-b^2=\right)4ab$ (đpcm)

b) 

$$\begin{gathered} a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right) \\ =\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right) \\ =\left(a+b\right)\left[{\left(a-b\right)}^2+ab\right] \end{gathered}$$

c) 

$$\begin{gathered} 2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+{\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2 \\ =2\left(a^2-b^2\right)+a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2 \end{gathered}$$

$=\left(2a^2+a^2+a^2\right)+\left(b^2+b^2-2b^2\right)+\left(2ab-2ab\right)=4a^2$

d)

${\left(a+b+c\right)}^2={\left[\left(a+b\right)+c\right]}^2={\left(a+b\right)}^2+2\left(a+b\right)c+c^2$

$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 8 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 5: Phân thức đại số

Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bài 7: Nhân, chia phân thức

Bài tập cuối chương 1 trang 26