Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng a^2 chia 3 dư 1

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Bài 2.6 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1: a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng a² chia 3 dư 1.

b) Biết số tự nhiên a chia 5 dư 3. Chứng minh rằng a² chia 5 dư 4.

Lời giải:

a) Vì a chia 3 dư 2 nên ta có thể viết a = 3n + 2, n ∈ ℕ. Ta có

a² = (3n + 2)²

= 9n² + 2.3n.2 + 4

= 9n² + 12n + 3 + 1

= 3(3n² + 4n + 1) + 1

Vì 3(3n² + 4n + 1) ⋮ 3 nên 3(3n² + 4n + 1) + 1 chia 3 dư 1.

Do đó a² chia 3 dư 1.

b) Vì a chia 5 dư 3 nên ta có thể viết a = 5n + 3, n ∈ ℕ. Ta có

a² = (5n + 3)²

= 25n² + 2.5n.3 + 9

= 25n² + 30n + 5 + 4

= 5(5n² + 6n + 1) + 4

Vì 5(5n² + 6n + 1) ⋮ 5 nên 5(5n² + 6n + 1) + 4 chia 5 dư 4.

Do đó a² chia 5 dư 4.