Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 15 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 15 có đáp án

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) $x-2-\frac{x^2-10}{x+2}$

b) $x^2+y^2-\frac{2\left(x^4+y^4\right)}{x^2+y^2}$

c) $\frac{x-3}{4x+4}-\frac{x-1}{6x-30}$

d) $\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}$

e) $\frac{x+9y}{x^2-9y^2}-\frac{3y}{x^2+3xy}$

f) $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^3+1}+\frac{1}{x^2-x+1}$

Bài 2: Xác định các hệ số $a,b,c$ để cho: $\frac{10x-4}{x^3-4x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{x-2}$

Bài 3: Chứng minh đẳng thức:

$$\begin{gathered} \frac{4x^2-{\left(x-3\right)}^2}{9\left(x^2-1\right)}-\frac{x^2-9}{{\left(2x+3\right)}^2-x^2} \\ +\frac{{\left(2x-3\right)}^2-x^2}{4x^2-{\left(x+3\right)}^2}=1 \end{gathered}$$

Bài 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C. Vẽ BH vuông góc với AE tại H. Gọi I là trung điểm của  HE.

a) Chứng minh tứ giác $ACED$ là hình bình hành.

b) Gọi K là trực tâm của $ABI$. Chứng minh K là trung điểm của HB

c) Chứng minh tứ giác $BCIK$ là hình bình hành.

d) Chứng minh $AC,BD$ và đường trung trực của IC đồng qui tại một điểm.

Bài 5: Cho hình chữ nhật $ABCD,E$ thuộc đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho $CE=EF$. Vẽ $FG\perp AB$ tại $G,FH\perp AD$ tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác $AHFG$ là hình chữ nhật

b) $AF\text{//}BD$

c) $E,G,H$ thẳng hàng

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a)

$$\begin{gathered} x-2-\frac{x^2-10}{x+2} \\ =\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)-x^2+10}{x+2}=\frac{6}{x+2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} x^2+y^2-\frac{2\left(x^4+y^4\right)}{x^2+y^2} \\ =\frac{{\left(x^2+y^2\right)}^2-2x^4-2y^4}{x^2+y^2} \\ =\frac{x^4+y^4+2x^2{y}^2-2x^4-2y^4}{x^2+y^2} \\ =\frac{-{\left(x^2-y^2\right)}^2}{x^2+y^2} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{x-3}{4x+4}-\frac{x-1}{6x-30} \\ =\frac{x-3}{4\left(x+1\right)}+\frac{x-1}{6\left(5-x\right)} \\ =\frac{3\left(x-3\right)\left(5-x\right)+2\left(x-1\right)\left(x+1\right))}{12\left(x+1\right)\left(5-x\right)} \\ =\frac{-5x^2+2x-47}{12\left(x+1\right)\left(5-x\right)} \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1} \\ =\frac{1}{x\left(1-5x\right)}+\frac{25x-15}{\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)} \\ =\frac{1+5x+x\left(25x-15\right)}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)} \\ =\frac{1+25x^2-10x}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)} \\ =\frac{{\left(1-5x\right)}^2}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)} \\ =\frac{1-5x}{x\left(1+5x\right)} \end{gathered}$$

e)

$$\begin{gathered} \frac{x+9y}{x^2-9y^2}-\frac{3y}{x^2+3xy} \\ =\frac{x\left(x+9y\right)-3y\left(x-3y\right)}{x\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)} \\ =\frac{x^2+6xy+9y^2}{x\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)} \\ =\frac{{\left(x+3y\right)}^2}{x\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)} \\ =\frac{x+3y}{x\left(x-3y\right)} \end{gathered}$$

f)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^3+1}+\frac{1}{x^2-x+1} \\ =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{1}{x^2-x+1} \\ =\frac{x^2-x+1-1+x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{x^2+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)} \end{gathered}$$

Bài 2:

$\frac{10x-4}{x^3-4x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{x-2}$

Ta có $\frac{a}{x}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{x-2}$

$$\begin{gathered} =\frac{a\left(x+2\right)\left(x-2\right)+bx\left(x-2\right)+cx\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)} \\ =\frac{a{x}^2-4a+b{x}^2-2bx+c{x}^2+2cx}{x\left(x^2-4\right)} \\ =\frac{\left(a+b+c\right)x^2+\left(2c-2d\right)x-4a}{x^3-4x} \end{gathered}$$

Đồng nhất tử với phân thức $\frac{10x-4}{x^3-4x}$ ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ 2c-2b=10\\ -4a=-4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c-b=5\\ a=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\\ c=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $\frac{10x-4}{x^3-4x}$

$=\frac{1}{x}-\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-2}$

Bài 3:

$$\begin{gathered} =\frac{x+3}{3\left(x+1\right)}-\frac{x-3}{3\left(x+1\right)}+\frac{3\left(x-1\right)}{3\left(x+1\right)} \\ =\frac{x+3-x+3+3x-3}{3\left(x+1\right)} \\ =\frac{3x+3}{3x+3}=1 \end{gathered}$$

Bài 4:

a) Ta có $AD\text{//}CE$ và $AD=BC=CE$. Do vậy $ADEC$ là hình bình hành.

b) K là giao điểm của BH và đường thẳng qua I, vuông góc với AB 

$$\begin{gathered} EB\perp AB,IK\perp AB \\ \Rightarrow IK//EB \end{gathered}$$

Mà I là trung điểm của EH nên IK là đường trung bình trong tam giác BHE. Vậy K là trung điểm của BH.

c) $IK\text{//}BC;IK=BC$ (cùng bằng $\frac{1}{2}BE\Rightarrow BCIK$ là hình bình hành.

d)$BCIK$  là hình bình hành $\Rightarrow CI//BK\Rightarrow CI\perp AE.$ Tam giác $ACI$ vuông tại I nên đường trung trực của CI cũng là đường trung bình của tam giác  ACI.Do vậy đường trung trực của CI đi qua trung điểm của AC.

Mặt khác vì ABCD là hình chữ nhật nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đoạn. từ đó ta có $AC,BD,CI$ đồng qui tại trung điểm của AC. 

Bài 5:

a) Tứ giác AHFG có $\widehat{A}=\widehat{H}=\widehat{G}=90°$ nên AHFG là hình chữ nhật.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD có I là trung điểm của AC. Theo già thiết thì E là trung điểm của CF. do đường thẳng BD là đường trung bình trong tam giác ACF.  Vậy $AF//BD$.

c) Gọi K là giao điểm của À và GH suy ra K là trung điểm của À.

Dễ thấy $AIEK$ là hình bình hành, suy ra $KE\text{//}AC$. Ta sẽ chứng minh $GH\text{//}AI$.

Vì $AHFG$ là hình chữ nhật nên $\widehat{AGH}=\widehat{GAF}$ (1).

Vì $AF\text{//}BD$ nên $\widehat{GAF}=\widehat{ABD}\left(2\right)$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (3)

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ suy ra $\widehat{AGH}=\widehat{BAC}$. Do đó $GH\text{//}AC$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì GH qua K nên hai đường thẳng GH và KE trùng nhau.

Vậy ba điểm G,H,E thẳng hàng.