Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 14 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 14 có đáp án

Bài 1:

a) $\frac{x-1}{2x}+\frac{2x+1}{3x}+\frac{1-5x}{6x}$

b) $\frac{1}{x-y}+\frac{2}{x+y}+\frac{3}{y^2-x^2}$

c) $\frac{4}{x+2}+\frac{3}{2-x}+\frac{12}{x^2-4}$

Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

a) $A=\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{x^2+2}{x^3-1}$ với x=11

b) $B=\frac{x+1}{x^2-x}+\frac{x+2}{1-x^2}$ với $x=-\frac{1}{3}$

Bài 3*: Tính

a)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)} \\ +\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{x+3} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{2}{x^2+2x}+\frac{2}{x^2+6x+8} \\ +\frac{2}{x^2+10x+24}+\frac{2}{x^2+14x+48} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2} \\ +\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}} \end{gathered}$$

Bài 4+: Cho biết tổng số đo của các góc trong và ngoài của đa giác đều là $540°$.

a) Tìm số cạnh của đa giác đều đó.

b) Tính số đo mỗi góc trong và ngoài.

Bài 5: Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A}=60°.$ Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Chứng minh đa giác $EBFGDH$ là lục giác đều.

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a)

$$\begin{gathered} \frac{x-1}{2x}+\frac{2x+1}{3x}+\frac{1-5x}{6x} \\ =\frac{3\left(x-1\right)+2\left(2x+1\right)+1-5x}{6x} \\ =\frac{2x}{6x}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-y}+\frac{2}{x+y}+\frac{3}{y^2-x^2} \\ =\frac{-\left(x+y\right)+2\left(y-x\right)+3}{y^2-x^2} \\ =\frac{-x-y+2y-2x+3}{y^2-x^2} \\ =\frac{-3x+y+3}{y^2-x^2} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{4}{x+2}+\frac{3}{2-x}+\frac{12}{x^2-4} \\ =\frac{4}{x+2}-\frac{3}{x-2}+\frac{12}{x^2-2} \\ =\frac{4\left(x-2\right)-3\left(x+2\right)+12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} \\ =\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+2} \end{gathered}$$

Bài 2:

a)

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{x^2+2}{x^3-1} \\ =\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{x-1+x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{x-1}. \end{gathered}$$

Với x=11 ta có:

$A=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{11-1}=\frac{1}{10}$

b)

$$\begin{gathered} B=\frac{x+1}{x^2-x}+\frac{x+2}{1-x^2} \\ =\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}+\frac{-\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)-\left(x+2\right)x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{1}{x\left(x^2-1\right)}=\frac{1}{x^3-x}. \end{gathered}$$

Với $x=-\frac{1}{3}$ ta có:

$B=\frac{1}{x^3-x}=\frac{1}{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+\frac{1}{3}}=\frac{27}{8}$

Bài 3:

a)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)} \\ +\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{x+3} \\ =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1} \\ -\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2} \\ -\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

b)  

$$\begin{gathered} \frac{2}{x^2+2x}+\frac{2}{x^2+6x+8} \\ +\frac{2}{x^2+10x+24}+\frac{2}{x^2+14x+48} \\ =\frac{2}{x\left(x+2\right)}+\frac{2}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)} \\ +\frac{2}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)}+\frac{2}{\left(x+6\right)\left(x+8\right)} \\ =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+8}=\frac{8}{x+8} \\ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2} \\ +\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}} \\ =\frac{4}{1-x^4}+\frac{4}{1-x^4} \\ +\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}} \\ =\frac{8}{1-x^8}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}} \\ =\frac{16}{1-x^{16}}+\frac{16}{1+x^{16}} \\ =\frac{32}{1-x^{32}} \end{gathered}$$

Bài 4:

a) Gọi số cạnh của đa giác đều đó là n $\left(n\in \text{N},n\ge 3\right)$ (Số cạnh của đa giác đều bằng số đỉnh)

Vì tổng số đo của một góc trong và một góc ngoài tại mỗi đỉnh của đa giác bằng $180°$ nên tổng số đo của các góc trong và ngoài của hình n - giác là  $n.180°$

Theo bài ra, ta có : $n.180°=540°\iff n=3$ (t/m)

Vậy đa giác đó có 3 cạnh.

b) Theo câu a, đa giác đều này có 3 cạnh nên đây là tam giác đều. Do đó, số đo mỗi góc trong của đa giác này $60°$.

Số đo mỗi góc ngoài của đa giác là:$180°-60°={120}^{°}$

Bài 5:

Nối BD Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $AB=BC=CD=DA$ và $\widehat{C}=\widehat{A}$. Lại có $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$

$$\begin{gathered} \Rightarrow AE=EB=BF=CF=DG \\ =CG=DH=AH=\frac{1}{2}AB\left(1\right) \end{gathered}$$

Do $AB=AD$ và $\widehat{A}=60°$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều

$\Rightarrow AB=BD;\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=60°$ (2)

Vì $\Delta ABD$ có E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$ nên EH là đường trung bình của $\Delta ABD\Rightarrow EH=\frac{1}{2}BD;EH\text{//}BD\left(3\right)$

Vì $\Delta CBD$ có F,G lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CD$ nên FG là đường trung bình của $\Delta CBD\Rightarrow FG=\frac{1}{2}BD;FG\text{//}BD\left(4\right)$

Từ (1);(2);(3);(4)  suy ra:

$EB=BF=DG=DH=EH=FG(*)$

Mặt khác:

Do $EH\text{//}BD$ và $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=60°$ nên $\widehat{BEH}=\widehat{DHE}=120°$ (5)

Do $CB=CD$ và $\widehat{C}=60°$ do $\widehat{C}=\widehat{A})$ nên $\Delta CBD$ đều

$\Rightarrow CB=CD;\widehat{CBD}=\widehat{CDB}=60°$

Do $FG\text{//}BD$ và $\widehat{CBD}=\widehat{CDB}=60°$ nên $\widehat{BFG}=\widehat{DGF}=120°$ (6)

Do $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}$

$$\begin{gathered} =\widehat{CBD}=\widehat{CDB}=60° \\ \Rightarrow \widehat{EBF}=\widehat{HDG}=120° \end{gathered}$$

Tù $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right)$ suy ra:

$$\begin{gathered} \widehat{BEH}=\widehat{DHE}=\widehat{BFG} \\ =\widehat{DGF}=\widehat{EBF}=\widehat{HDG}(**) \end{gathered}$$

Từ $(*),(**)$ suy ra đa giác $EBFGDH$ là lục giác đều (đpcm)