Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 5 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 5 có đáp án

Bài 1: Chứng minh các đa thức sau luôn âm với mọi x

a) $-x^2+6x-15$

b) $-9x^2+24x-18$

c) $\left(x-3\right)\left(1-x\right)-2$

d) $\left(x+4\right)\left(2-x\right)-10$ 

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2}yz-x^3{y}^{3}z+xy{z}^2$

b) $4x^3+24x^2-12x{y}^2$

c) $x^2\left(m+n\right)-3y^2\left(m+n\right)$

d)  $4x^2\left(x-y\right)+9y^2\left(y-x\right)$

e) $x^2\left(a-b\right)+2\left(b-a\right)$

f) $10x^2{\left(a-2b\right)}^2-\left(x^2+2\right){\left(2b-a\right)}^2$

g) $50x^2{\left(x-y\right)}^2-8y^2{\left(y-x\right)}^2$

h) $15a^{m+2}b-45a^{m}b\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có các đường phân giác BD;CE cắt nhau tại O. Qua A vẽ các đường vuông góc với BD và CE chúng cắt BC theo thứ tự tại N và M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua  OH.

Bài 4: Cho $\Delta ABC$ nhọn có $\widehat{A}=70°$ và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cắt AB,AC theo thứ tự  M,N.

a) Tính các góc của $\Delta AEF$  

b) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của $\widehat{MDN}$

c) Tìm vị trí của điểm D trên cạnh BC để $\Delta DMN$ có chu vi nhỏ nhất.

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: 

$$\begin{gathered} -x^2+6x-15 \\ =-\left(x^2-6x+9\right)-6 \\ =-{\left(x-3\right)}^2-6 \end{gathered}$$

Vì

$$\begin{gathered} -{\left(x-3\right)}^2\le 0\forall x \\ \to -{\left(x-3\right)}^2-6\le -6<0\forall x \end{gathered}$$

Vậy đa thức trên luôn âm với mọi x

$$\begin{gathered} -9x^2+24x-18 \\ =-\left(9x^2-24x+16\right)-2 \\ =-{\left(3x-4\right)}^2-2 \end{gathered}$$

Vì:

$$\begin{gathered} -{\left(3x-4\right)}^2\le 0\forall x \\ \to -{\left(3x-4\right)}^2-2\le -2<0\forall x \end{gathered}$$

Vậy đa thức trên luôn âm với mọi x

$$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(1-x\right)-2 \\ =x-x^2-3+3x-2 \\ =-x^2+4x-4-1 \\ =-{\left(x-2\right)}^2-1 \end{gathered}$$

Vì :

$$\begin{gathered} -{\left(x-2\right)}^2\le 0\forall x \\ \to -{\left(x-2\right)}^2-1\le -1<0\forall x \end{gathered}$$

Vậy đa thức trên luôn âm với mọi  x

$$\begin{gathered} \left(x+4\right)\left(2-x\right)-10 \\ =2x-x^2+8-4x-10 \\ =-x^2-2x-1-1 \\ =-{\left(x+1\right)}^2-1 \end{gathered}$$

Vì:

$$\begin{gathered} -{\left(x+1\right)}^2\le 0\forall x \\ \to -{\left(x+1\right)}^2-1\le -1<0\forall x \end{gathered}$$

Vậy đa thức trên luôn âm với mọi  x

Bài 2:

a)

$$\begin{gathered} x^{2}yz-x^3{y}^{3}z+xy{z}^2 \\ =xyz\left(x-x^2{y}^2+z\right) \end{gathered}$$ 

b)

$$\begin{gathered} 4x^3+24x^2-12x{y}^2 \\ =4x\left(x^2+6x-3y^2\right) \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} x^2\left(m+n\right)-3y^2\left(m+n\right) \\ =\left(m+n\right)\left(x^2-3y^2\right) \\ =\left(m+n\right)\left(x-\sqrt{3}y\right)\left(x+\sqrt{3}y\right) \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} 4x^2\left(x-y\right)+9y^2\left(y-x\right) \\ =4x^2\left(x-y\right)-9y^2\left(x-y\right) \\ \begin{array}{l}=\left(x-y\right)\left(4x^2-9y^2\right)\\ =\left(x-y\right)\left(2x-3y\right)\left(2x+3y\right)\end{array} \end{gathered}$$

e)

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{x}^2\left(a-b\right)+2\left(b-a\right)\\ =x^2\left(a-b\right)-2\left(a-b\right)\\ =\left(a-b\right)\left(x^2-2\right)\end{array} \\ =\left(a-b\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right) \end{gathered}$$     

f)

$$\begin{gathered} 10x^2{\left(a-2b\right)}^2-\left(x^2+2\right){\left(2b-a\right)}^2 \\ =10x^2{\left(a-2b\right)}^2-\left(x^2+2\right){\left(a-2b\right)}^2 \\ ={\left(a-2b\right)}^2\left(10x^2-x^2-2\right) \\ ={\left(a-2b\right)}^2\left(9x^2-2\right) \\ ={\left(a-2b\right)}^2\left(3x-\sqrt{2}\right)\left(3x+\sqrt{2}\right) \end{gathered}$$

g)

$$\begin{gathered} 50x^2{\left(x-y\right)}^2-8y^2{\left(y-x\right)}^2 \\ =50x^2{\left(x-y\right)}^2-8y^2{\left(x-y\right)}^2 \\ ={\left(x-y\right)}^2\left(50x^2-8y^2\right) \\ =2{\left(x-y\right)}^2\left(25x^2-4y^2\right) \\ =2{\left(x-y\right)}^2\left(5x-2y\right)\left(5x+2y\right) \end{gathered}$$

h)

$$\begin{gathered} 15a^{m+2}b-45a^{m}b\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \\ =15a^m.a^{2}b-45a^{m}b\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \\ =15a^{m}b\left(a^2-3\right)\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \\ =15a^{m}b\left(a-\sqrt{3}\right)\left(a+\sqrt{3}\right)\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \end{gathered}$$

Bài 3: 

Xét $\Delta AMC$ có CE vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta AMC$ cân tại C (t/c) suy ra CE là trung trực của  AM.

Có $O\in CE\Rightarrow O$ nằm trên đường trung trực của $AM\Rightarrow OA=OM\left(\text{t/c}\right)$ (1)

Xét $\Delta ABN$ có BD vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta ABN$ cân tại B (t/c) suy ra BD là trung trực của  AN.

Có $O\in BD\Rightarrow O$ nằm trên đường trung trực của AN $\Rightarrow OA=ON\left(\text{t/c}\right)$(2)

Từ (1); (2) suy ra OM=ON

Xét $\Delta OMN$ có OM=ON (cmt) suy ra $\Delta OMN$ cân (định lí)

$OH\perp BC\Rightarrow OH$ là đường cao đồng thời là đường trung trực của MN suy ra M và N đối xứng với nhau qua OH.

Bài 4:

a) Gọi DE,DF lần lượt cắt AB,AC tại P,Q

+ Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có:

$PE=PD,DE\perp AB$

Xét $\Delta AEP$ và $\Delta ADP$ có:

AP chung

$\begin{array}{l}\widehat{APE}=\widehat{APD}\left(=90°\right)\\ PE=PD\left(\text{cmt}\right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta APE=\Delta APD\left(\text{c.g.c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{EAP}=\widehat{DAP}$(hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{FAQ}=\widehat{DAQ} \\ \begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{EAP}+\widehat{DAP}+\widehat{FAQ}+\widehat{DAQ}\\ =2\widehat{DAP}+2\widehat{DAQ}\\ =2.\left(\widehat{DAP}+\widehat{DAQ}\right)\\ =2.\widehat{BAC}=2.70°=140°.\end{array} \end{gathered}$$

+ Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có:

$$\begin{gathered} AE=AD,AD=AF \\ \Rightarrow AE=AF\Rightarrow \Delta AEF \end{gathered}$$

cân tại A.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AFE} \\ =\frac{180°-140°}{2}=20° \end{gathered}$$

b)

+ Dễ chứng minh được:

$$\begin{gathered} \Delta MEP=\Delta MDP\left(c.g.c\right) \\ \Rightarrow \widehat{MEP}=\widehat{MDP} \end{gathered}$$

Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{AEP}=\widehat{AEM}+\widehat{MEP}\\ \widehat{ADP}=\widehat{ADM}+\widehat{MDP}\end{array}$

Mà $\widehat{AEP}=\widehat{ADP}\left(cmt\right)$

$\widehat{MEP}=\widehat{MDP}$(cmt)

$\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{ADM}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\widehat{\text{AF}N}=\widehat{ADN}$

Mà $\widehat{AEM}=\widehat{\text{AF}N}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{ADN}$

DA là tia phân giác của $\widehat{MDN}.$

c)

$$\begin{gathered} P_{DMN}=DM+DN+MN \\ =EM+FN+MN=EF \end{gathered}$$

Nên $P_{DMN}\min \iff EF\text{\hspace{0.17em}min}$

Theo tính chất đối xứng trục, ta có:

$$\begin{gathered} AD=AE=AF \\ \widehat{EAF}=2\widehat{BAD}+2\widehat{DAC} \\ =2\widehat{BAC}<2.90°=180° \end{gathered}$$

Như vậy, $\Delta AEF$ cân tại A, $\widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$ (không đổi) và cạnh bên có độ dài thay đổi bằng AD.

Cạnh đáy EF min khi cạnh bên AD có độ dài ngắn nhất, tức $AD\perp BC$, nghĩa là D là chân đường cao hạ từ A của $\Delta ABC$.