Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 13 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 13 có đáp án

Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{13z}{63x^2{y}^3};\frac{-y}{15x{z}^2};\frac{2x}{9y^{2}z}$

b) $\frac{x}{x-y};\frac{y}{{\left(x-y\right)}^2};\frac{1}{{\left(y-x\right)}^3}$

c) $\frac{1}{2x+4};\frac{x}{2x-4};\frac{3}{4-x^2}$

d) $\frac{1}{x-2x^2};\frac{20}{4x^3-x};\frac{7}{2x^2+x}$  

e) $\frac{x}{x^3+1};\frac{x+1}{x^2+x};\frac{x+2}{x^2-x+1}$

f) $\frac{1}{x^2+3x+2};\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2};\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

Bài 2: Tìm x biết:

a) $a^{2}x+2x-a^6-8=0$ với a là hằng số 

b)

$$\begin{gathered} a^{2}x+ax-12x \\ =a\left(a^2-6a+9\right)+4a^2-24a+36 \end{gathered}$$ 

với a là hằng số, $a\ne 3,a\ne -4$.

Bài 3: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{x^6+x^4+x^2+1}{x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}$

b) $\frac{x^6+x^4+x^2+1}{x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng với M qua $AB,E$ là giao điểm của  MH và AB . Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC,F là giao điểm của MK và AC.

a) Xác định dạng của tứ giác $AEMF,AMBH,AMCK.$ 

b) Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A.

c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông?

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, M là trung điểm của BC  Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.

a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

b) Chứng minh các tam giác ABD,ACD vuông tại B,C.

c) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: $IA=IB=IC=ID$.

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} 63x^2{y}^3={7.3}^2.x^2{y}^3 \\ 15x{z}^2=3.5x{z}^2 \\ 9y^{2}z=3^2{y}^{2}z \end{gathered}$$                                     

MTC:  $3^2\mathrm{.5.7}{x}^2{y}^3{z}^2=315x^2{y}^3{z}^2$

$$\begin{gathered} \frac{13z}{63x^2{y}^3}=\frac{13z.5z^2}{63x^2{y}^3.5z^2}=\frac{65z^3}{315x^2{y}^3{z}^2} \\ \frac{-y}{15x{z}^2}=\frac{-y.21x{y}^3}{15x{z}^2.21x{y}^3}=\frac{-21x{y}^4}{315x^2{y}^3{z}^2} \\ \frac{2x}{9y^{2}z}=\frac{2x.35x^{2}yz}{9y^{2}z.35x^{2}yz}=\frac{70x^{3}yz}{315x^2{y}^3{z}^2} \end{gathered}$$

b) Ta có:  $\frac{1}{{\left(y-x\right)}^3}=\frac{-1}{{\left(x-y\right)}^3}$

MTC:  ${\left(x-y\right)}^3$

$$\begin{gathered} \frac{x}{x-y}=\frac{x{\left(x-y\right)}^2}{\left(x-y\right).{\left(x-y\right)}^2}=\frac{x{\left(x-y\right)}^2}{{\left(x-y\right)}^3} \\ \frac{y}{{\left(x-y\right)}^2}=\frac{y.\left(x-y\right)}{{\left(x-y\right)}^2.\left(x-y\right)}=\frac{y\left(x-y\right)}{{\left(x-y\right)}^3} \end{gathered}$$

c) Ta có: $\frac{3}{4-x^2}=\frac{-3}{x^2-4}$

MTC:  $2\left(x^2-4\right)$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2x+4}=\frac{x-2}{2\left(x^2-4\right)} \\ \frac{x}{2x-4}=\frac{x+2}{2\left(x^2-4\right)} \\ \frac{3}{4-x^2}=\frac{-6}{2\left(x^2-4\right)} \end{gathered}$$

d) MTC:

$x\left(4x^2-1\right)=x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$

$$\begin{gathered} \frac{204}{x^3-x}=\frac{20}{x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)} \\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x-2x^2}}=\frac{{\displaystyle -1}}{{\displaystyle 2x^2-x}}=\frac{{\displaystyle -2x-1}}{{\displaystyle x\left(4x^2+1\right)}} \\ \frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 2x^2+x}}=\frac{{\displaystyle 7\left(2x-1\right)}}{{\displaystyle x\left(4x^2-1\right)}} \end{gathered}$$

e) MTC:  $x\left(x^3+1\right)$

$$\begin{gathered} \frac{x}{x^3+1}=\frac{x^2}{x\left(x^3+1\right)} \\ \frac{x+1}{x^2+x}=\frac{x+1}{x\left(x+1\right)} \\ =\frac{1}{x}=\frac{x^3+1}{x\left(x^3+1\right)} \\ \frac{x+2}{x^2-x+1}=\frac{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x\left(x^3+1\right)} \\ =\frac{x^3+3x^2+2x}{x\left(x^3+1\right)} \end{gathered}$$

f) MTC: ${\left(x+1\right)}^2{\left(x+2\right)}^2$

$$\begin{gathered} \frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{x^2+3x+2}{{\left(x+1\right)}^2{\left(x+2\right)}^2} \\ \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2{\left(x+2\right)}^2} \\ \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2{\left(x+2\right)}^2} \end{gathered}$$

Bài 2:

a) $a^{2}x+2x-a^6-8=0$ với a là hằng số.

$\begin{array}{l}\left(a^2+2\right)x=a^6+8\\ x=\frac{a^6+8}{a^2+2}\\ x=\frac{{\left(a^2\right)}^3+2^3}{a^2+2}\\ x=\frac{\left(a^2+2\right)\left(a^4+2a^2+4\right)}{a^2+2}\\ x=a^4+2a^2+4\end{array}$

Vậy  $x=a^4+2a^2+4$

b)

$$\begin{gathered} \left(a^2+a-12\right)x \\ =a^3-6a^2+9a+4a^2-24a+36 \\ \begin{array}{l}\left(a^2+a-12\right)x=a^3-2a^2-15a+36\\ x=\frac{a^3-2a^2-15a+36}{a^2+a-12}\\ x=\frac{{\left(a-3\right)}^2\left(a+4\right)}{\left(a-3\right)\left(a+4\right)}\\ x=a-3\end{array} \end{gathered}$$

Vậy $x=a-3$  

Bài 3.

a)

$$\begin{gathered} \frac{x^6+x^4+x^2+1}{x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1} \\ =\frac{x^6+x^4+x^2+1}{x\left(x^6+x^4+x^2+1\right)+x^6+x^4+x^2+1} \\ =\frac{x^6+x^4+x^2+1}{\left(x^6+x^4+x^2+1\right)(x+1)}=\frac{1}{x+1} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{\left(x^2+1\right)\left(x^8+x^4+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)} \\ =\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^8+x^4+1\right)}{x^4-x^3+x^2+x^3-x^2+x+x^2-x+1} \\ =\frac{x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1}{x^4+x^2+1} \\ =\frac{\left(x^6+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}{x^4+x^2+1}=x^6+1 \end{gathered}$$

Bài 4:

a) Xác định dạng của tứ giác  $AEMF,AMBH,AMCK.$

H là điểm đối xứng với M qua $AB\Rightarrow AB$ là đường trung trực của  HM.

$\Rightarrow AH=AM;BH=BM;\widehat{AEM}=90°$

K là điểm đối xứng với M qua $AC\Rightarrow AC$ là đường trung trụ̣c của KM

$\Rightarrow AM=AK;CM=CK;\widehat{AFM}=90°$

Lại có $BM=CM=AM$

$$\begin{gathered} \Rightarrow AH=BH=BM \\ =AM=MC=CK=AK \end{gathered}$$

Tứ giác AEMF có $\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{EAF}=90°$ nên tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật

Tứ giác $AMBH$ có $AH=BH=BM=AM$ nên tứ giác $AMBH$ là hình thoi

Tứ giác AMCK có $AM=MC=CK=AK$ nên tứ giác $AMCK$ là hình thoi

b) Chúng minh rằng H đối xứng với K qua A

Tứ giác $AMBH,AMCK$ là hình thoi $\Rightarrow AH\text{//}BM;AK\text{//}MC$ mà $M\in BC\Rightarrow A,H,K$ thẳng

hàng (theo tiên đề Oclit)

Lại có $AH=AK\left(cmt\right)\Rightarrow A$ là trung điểm của HK hay H đối xứng với K qua A.

c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông?

Hình chữ nhật $AEMF$ là hình vuông $\iff EM=AE\iff AB=AC\iff \Delta ABC$ vuông cân tại A.

Bài 5:

a. $BHCD$ là hình bình hành:

M vừa là trung điểm của BC vừa là trung điểm của HD nên BHCD là hình bình hành.

b. Tam giác $ABD,ACD$ vuông tại B,C.

$BD\text{//}CH$ mà $CH\perp AB\Rightarrow BD\perp AB$

$CD\text{//}BH$ mà $BH\perp AC\Rightarrow CD\perp AC$

c. $IA=IB=IC=ID$

$BI,CI$ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AD

$\Rightarrow IA=IB=IC=ID$