Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 18 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 18 có đáp án

Bài 1: Thực hiệc các phép tính sau:

a) ${\left(x+2\right)}^2-x\left(x+5\right)$

b) $\frac{2}{x+3}-\frac{3}{3-x}+\frac{2-5x}{x^2-9}$

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x\left(2x-3\right)-2\left(3-2x\right)$

b) $x^2-4y^2-2x+4y$

Bài 3:

a) Tìm x biết:

${\left(x+3\right)}^2-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=x^2+2xy+2y^2-4y+3$

Bài 4: Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a^2-b^2}}$

b) $\frac{\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}}{\frac{b}{a-b}+\frac{a}{a+b}}$

c) $\frac{c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)}{\frac{c}{a-c}-\frac{a}{a+c}}$

d) $\frac{\frac{x^2-y^2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$

e)

$$\begin{gathered} x:\frac{x-1}{2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+4x+1\right)}{2x^2+2x} \\ \cdot \frac{-4x}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{4x^2}{x^2-1} \end{gathered}$$

Bài 5: Cho phân thức:

$M=\left[\frac{{\left(x-1\right)}^2}{3x+{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1-2x^2+4x}{x^3-1}+\frac{1}{x-1}\right]:\frac{x^2+x}{x^3+x}$

a) Tìm điều kiện để giá trị của biểu thức xác định.

b) Tìm giá trị của x để biểu thức bằng 0 .

c) Tìm x khi $\left|M\right|=1$

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB=6 cm,AC=8 cm$. AM là đường trung tuyến.

a) Tính độ dài đoạn thẳng  AM.

b) Từ M vẽ MK vuông góc AB,MN vuông góc AC. Chứng minh: AKMN là hình chữ nhật.

c) Chứng minh KMCN là hình bình hành

d) Vẽ AH vuông góc BC. Chứng minh KHMN là hình thang cân.

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a)

$$\begin{gathered} {\left(x+2\right)}^2-x\left(x+5\right) \\ =x^2+4x+4-x^2-5x \\ =-x+4 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{2}{x+3}-\frac{3}{3-x}+\frac{2-5x}{x^2-9} \\ =\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x-3}+\frac{2-5x}{x^2-9} \\ =\frac{2\left(x-3\right)+3\left(x+3\right)+2-5x}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \\ =\frac{2x-6+3x+9+2-5x}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \\ =\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \end{gathered}$$

Bài 2:

a)

$$\begin{gathered} x\left(2x-3\right)-2\left(3-2x\right) \\ =x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right) \\ =\left(2x-3\right)\left(x+2\right) \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} x^2-4y^2-2x+4y \\ =\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)-2\left(x-2y\right) \\ =\left(x-2y\right)\left(x+2y-2\right) \end{gathered}$$

Bài 3:

a)

$$\begin{gathered} {\left(x+3\right)}^2-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0 \\ \iff x^2+6x+9-x^2+4=0 \\ \iff 6x=-13 \\ \iff x=\frac{-13}{6} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} A=x^2+2xy+2y^2-4y+3 \\ =\left(x+2xy+y^2\right) \\ +\left(y^2-4y+4\right)-4+3 \end{gathered}$$

$={\left(x+y\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2-1\ge -1$ với mọi x,y.

A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x= -2 và y=2.

Bài 4:

a)

$\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a^2-b^2}}=\frac{a^2-b^2}{a+b}=a-b$

b)

$$\begin{gathered} \frac{\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}}{\frac{b}{a-b}+\frac{a}{a+b}} \\ =\frac{\frac{a^2+ab-ab+b^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{\frac{ab+b^2+a^2-ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}} \\ =\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)}{\frac{c}{a-c}-\frac{a}{a+c}} \\ =\frac{c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)}{\frac{c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}} \\ =\frac{\left[c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)\right]\left(a-c\right)\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)} \\ =\left(a-c\right)\left(a+c\right)=a^2-c^2 \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} \frac{\frac{x^2-y^2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{\frac{x^2-y^2}{x}}{\frac{y-x}{xy}} \\ =\frac{\left(x^2-y^2\right)xy}{x\left(y-x\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)y}{y-x} \\ =-y\left(x+y\right) \end{gathered}$$

e)

$$\begin{gathered} x:\frac{x-1}{2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+4x+1\right)}{2x^2+2x} \\ \cdot \frac{-4x}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{4x^2}{x^2-1} \\ =\frac{2x}{x-1}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+4x+1\right)}{2x\left(x+1\right)} \\ \cdot \frac{-4x}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{4x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{2x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{2\left(x^2+4x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ -\frac{4x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{2x^2+2x+2x^2+8x+2-4x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{10x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \end{gathered}$$

Bài 5:

a) Điều kiện để giá trị của biểu thức xác định

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x+{\left(x-1\right)}^2\ne 0\\ x^3-1\ne 0\\ x-1\ne 0\\ x^2+x\ne 0\\ x^3+x\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+x+1\ne 0\\ \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\ne 0 \\ x-1\ne 0\\ \begin{array}{l}x\left(x+1\right)\ne 0\\ x\left(x^2+1\right)\ne 0\end{array}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$

(vì $x^2+x+1>0$ và $x^2+1>0\forall x$)

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne 0\\ x\ne 1\end{array}\right.$

b) Ta có với $x\ne -1;x\ne 0;x\ne 1$

$$\begin{gathered} M=\left[\frac{{\left(x-1\right)}^2}{3x+{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1-2x^2+4x}{x^3-1}+\frac{1}{x-1}\right] \\ :\frac{x^2+x}{x^3+x} \\ M=\left[\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+x+1}-\frac{1-2x^2+4x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{1}{x-1}\right] \\ \cdot \frac{x^3+x}{x^2+x} \\ M=\frac{{\left(x-1\right)}^3-1+2x^2-4x+x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ \cdot \frac{x\left(x^2+1\right)}{x\left(x+1\right)} \\ M=\frac{x^3-3x^2+3x-1-1+2x^2-4x+x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ \cdot \frac{x^2+1}{x+1} \\ M=\frac{x^3-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\cdot \frac{x^2+1}{x+1} \\ M=\frac{x^3-1}{x^3-1}\cdot \frac{x^2+1}{x+1} \\ M=\frac{x^2+1}{x+1} \end{gathered}$$

Do $\left(x^2+1\right)>0$ với mọi giá trị của x. Nên không có giá trị nào của x để M=0

c) Với $x\ne -1;x\ne 0;x\ne 1$

$\left|M\right|=1\iff M=1$ hoặc M = -1

Với M=1 ta có: $x^2+1=x+1$

$\iff x\left(x-1\right)=0\iff x=0$ (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x=1 (loại vì không thỏa mãn (ĐKXĐ)

Với M = -1  ta có:

$$\begin{gathered} x^2+1=-x-1 \\ \iff x^2+x+2=0 \\ \iff x^2+2\cdot \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=0 \end{gathered}$$  (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của x để $\left|M\right|=1$

Bài 6:

a) Tính độ dài đoạn thẳng  AM

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ABC ta có:

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2 \\ =6^2+8^2=100 \\ \Rightarrow BC=10( cm) \end{gathered}$$

Mà $AM=\frac{1}{2}BC$ (AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyên BC )

Nên $AM=5( cm)$

b) Từ M vẽ NK vuông góc AB,MN vuông góc AC. Chứng minh: AKMN là hình chữ nhật.

Tứ giác AKMN có:

$\widehat{AKM}=\widehat{KAN}=\widehat{ANM}=90°$ (gt)

Nên tứ giác AKMN là hình chữ nhật

c) Chứng minh KMCN là hình bình hành

Tam giác ABC có:

M là trung điểm BC

Mà $MK\text{//}AC$ (cùng vuông góc với AB)

Nên K là trung điểm AB (1)

Tương tự $MN\text{//}AB$ (cùng vuông góc với AC)

Nên N là trung điểm của AC (2)

Từ (1) và (2) KN là đường trung bình của tăm giác ABC.

Suy ra: $KN\text{//}BC$ hay $KN\text{//}MC\left(3\right)$

và $KN=MC$ (cùng $=\frac{1}{2}BC$)  (4)

Tù (3) và (4)  tứ giác KMCN có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên KMCN là hình bình hành.

d) Vẽ AH vuông góc BC. Chứng minh KHMN là hình thang cân

Ta có: $KN\text{//}BC$ (cmt)

Suy ra  $KN\text{ // }HM$

Vậy $KHMN$ là hình thang (5)

Ta lại có:

$HN=\frac{1}{2}AC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHC)

$AN=\frac{1}{2}AC$ ( N là trung điểm AC)

Suy ra $HN=AN$

Mà $AN=KM$ (AKMN là hình chữ nhật)

Suy ra $HN=KM\left(6\right)$

Từ (5) và (6) hình thang $KHMN$ có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.