Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 6 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 6 có đáp án

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2-4x^2{y}^2+y^2+2xy$

b) $49-a^2+2ab-b^2$

c) $a^2-b^2+4bc-4c^2$

d) $4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2$

e) ${\left(a+b+c\right)}^2+{\left(a+b-c\right)}^2-4c^2$

Bài 2: Tìm x, biết:

a) $x^2-3x=0$

b) $x^5-9x=0$

c) $\left(x^3-4x^2\right)-\left(x-4\right)=0$

d) ${\left(4x^2-25\right)}^2-9{\left(2x-5\right)}^2=0$

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD. AF và EC  lần lượt cắt DB ở G và H. Chứng minh:

a) DG = GH = HB

b) Các đoạn thẳng $AC;EF;GH$ đồng quy

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,F,H lần lượt là trung điểm của $AB,BC,OE.$

a) Chứng minh AF cắt OE tại H.

b) DF,DE  lần lượt cắt AC tại T,S. Chứng minh: Á = ST=TC

c) BT cắt  DC ở M. Chứng minh E,O,M thẳng hàng.

Bài 5: Cho $\Delta ABC$ cân ở A. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của  BC,CA,AB.Trên tia đối của tia FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm củaCH.  Các đường thẳng DE và AH cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) BDIA là hình bình hành

b) BDIH là hình thang cân

c) F là trọng tâm của $\Delta HDE$

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a)

$$\begin{gathered} x^2-4x^2{y}^2+y^2+2xy \\ =x^2+2xy+y^2-4x^2{y}^2 \\ ={\left(x+y\right)}^2-{\left(2xy\right)}^2 \\ =\left(x+y-2xy\right)\left(x+y+2xy\right) \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 49-a^2+2ab-b^2 \\ =49-\left(a^2-2ab+b^2\right) \\ =7^2-{\left(a-b\right)}^2 \\ =\left(7-a+b\right)\left(7+a-b\right) \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} a^2-b^2+4bc-4c^2 \\ =a^2-\left(b^2-4bc+4c^2\right) \\ =a^2-\left[b^2-2b.2c+{\left(2c\right)}^2\right] \\ =a^2-{\left(b-2c\right)}^2 \\ =\left(a-b+2c\right)\left(a+b-2c\right) \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} 4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2 \\ ={\left(2bc\right)}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2 \\ =\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right) \\ \left(2bc+b^2+c^2-a^2\right) \\ =\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right] \\ \left(b^2+2bc+c^2-a^2\right) \\ =\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right] \\ =\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right) \\ \left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right) \end{gathered}$$

e)

$$\begin{gathered} {\left(a+b+c\right)}^2+{\left(a+b-c\right)}^2-4c^2 \\ ={\left(a+b+c\right)}^2 \\ +\left(a+b-c-2c\right)\left(a+b-c+2c\right) \\ ={\left(a+b+c\right)}^2 \\ +\left(a+b-3c\right)\left(a+b+c\right) \\ =\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+a+b-3c\right) \\ =\left(a+b+c\right)\left(2a+2b-2c\right) \\ =2\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right) \end{gathered}$$

Bài 2:

a) 

$$\begin{gathered} x^2-3x=0\iff x\left(x-3\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x\in \left\{0;3\right\}$.

b)

$$\begin{gathered} x^5-9x=0\iff x\left(x^4-9\right)=0 \\ \iff x\left(x^2-3\right)\left(x^2+3\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2+3=0\\ x^2-3=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=3\\ x^2=-3\left(l\right)\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\sqrt{3}\\ x=-\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x\in \left\{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\right\}$.

c)

$$\begin{gathered} \left(x^3-4x^2\right)-\left(x-4\right)=0 \\ \iff x^2\left(x-4\right)-\left(x-4\right)=0 \\ \iff \left(x-4\right)\left(x^2-1\right)=0 \\ \iff \left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x-4=0\\ x-1=0\\ x+1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$              

Vậy $x\in \left\{-1;1;4\right\}$.

d)

$$\begin{gathered} {\left(4x^2-25\right)}^2-9{\left(2x-5\right)}^2=0 \\ \iff \left[4x^2-25-3\left(2x-5\right)\right] \\ \left[4x^2-25+3\left(2x-5\right)\right]=0 \\ \iff \left(4x^2-25-6x+15\right) \\ \left(4x^2-25+6x-15\right)=0 \\ \iff \left(4x^2-6x-10\right)\left(4x^2+6x-40\right)=0 \\ \iff \left(4x^2+4x-10x-10\right) \\ \left(4x^2+16x-10x-40\right)=0 \\ \iff \left[4x\left(x+1\right)-10\left(x+1\right)\right] \\ \left[4x\left(x+4\right)-10\left(x+4\right)\right]=0 \\ \iff \left(x+1\right)\left(4x-10\right) \\ \left(x+4\right)\left(4x-10\right)=0 \\ \iff \left(x+1\right){\left(4x-10\right)}^2\left(x+4\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x+1=0\\ {\left(4x-10\right)}^2=0\\ x+4=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{5}{2}\\ x=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

 Vậy $x\in \left\{-4;-1;\frac{5}{2}\right\}$.

Bài 3:

a) + Gọi $AC\cap BD=\left\{O\right\}$ 

$\Rightarrow OB=OD;OA=OC$(tính chất hình bình hành).

+ Xét $\Delta ACB$ có: E là trung điểm của AB; O là trung điểm của AC.

CE;BO là 2 đường trung tuyến

mà $CE\cap BO=\left\{H\right\}$

H là trọng tâm của $\Delta ACB$

$\Rightarrow BH=\frac{2}{3}BO;HO=\frac{1}{3}BO$

Chứng minh tương tự ta có:

$DG=\frac{2}{3}DO;GO=\frac{1}{3}DO$

+ Có:

$$\begin{gathered} BH=\frac{2}{3}BO; \\ DG=\frac{2}{3}DO \\ \Rightarrow BH=DG \left(1\right) \end{gathered}$$

+ $HO=\frac{1}{3}BO;GO=\frac{1}{3}DO$

Mà $BO=DO$

$$\begin{gathered} \Rightarrow HO+GO=\frac{1}{3}BO+\frac{1}{3}DO \\ =\frac{1}{3}BO+\frac{1}{3}BO=\frac{2}{3}BO \\ \Rightarrow GH=BH\begin{array}{cc}& \left(2\right)\end{array} \end{gathered}$$

Từ $\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow BH=DG=HG$

b) + Có $AC\cap BD=\left\{O\right\}$

+ Xét hình bình hành ABCD có $AB=DC;AB\text{//}DC$ mà E,F là trung điểm của $AB;DC$

$\Rightarrow AE=EB=CF=DF;AE\text{//}FC$

+ Xét tứ giác $AECF$ có $AE=CF;AE\text{//}FC$ (cmt)

tứ giác $AECF$ là hình bình hành

+ Xét hbh $AECF$ có $AC;EF$ là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của $AC\Rightarrow AC\cap EF=\left\{O\right\}$

ba đường thẳng $AC;BD;EF$ đồng quy tại O,

Bài 4:

a) Xét $\Delta ABC$ có E,O là trung điểm của AB,AC$\Rightarrow EO$ là đường trung bình của tam giác $\Delta ABC$

$\Rightarrow EO=\frac{1}{2}BC;EO\text{//}BC$

Mà F là trung điểm của $BC\Rightarrow AF$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Có H là trung điểm của $EO;EO\text{//}BC\Rightarrow H\in AF$

Vậy $AF\cap EO=\left\{H\right\}$

b)

+ Gọi $AC\cap BD=\left\{O\right\}$

$\Rightarrow OB=OD;OA=OC$ (tính chất hình bình hành).

+ Xét $\Delta ADB$ có: E là trung điểm của AB; O là trung điểm của BD.

BE;AO là 2 đường trung tuyến

mà $DE\cap AO=\left\{S\right\}\Rightarrow S$ là trọng tâm của $\Delta ABD$

$\Rightarrow AS=\frac{2}{3}AO;SO=\frac{1}{3}AO$

Chứng minh tương tự ta có:

$CT=\frac{2}{3}CO;TO=\frac{1}{3}CO$

+ Có: $AS=\frac{2}{3}AO;CT=\frac{2}{3}CO$

$\Rightarrow AS=CT\begin{array}{cc}& \left(1\right)\end{array}$

+ $SO=\frac{1}{3}AO;TO=\frac{1}{3}CO$

Mà $AO=CO\Rightarrow SO+TO$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}AO+\frac{1}{3}CO=\frac{1}{3}AO+\frac{1}{3}AO \\ =\frac{2}{3}AO\Rightarrow ST=AS\begin{array}{cc}& \left(2\right)\end{array} \end{gathered}$$

Từ $\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow AS=ST=TC$

c) Theo cm câu b, T là trọng tâm của $\Delta BDC\Rightarrow BT$ là đường trung tuyến của $\Delta BDC$

Mà $BT\cap DC=\left\{M\right\}\Rightarrow BM$ là đường trung tuyến của $\Delta BDC$

M là trung điểm của DC

Xét $\Delta BDC$ có K,O là trung điểm của $DC,DB\Rightarrow MO$ là đường trung bình của $\Delta BDC$

$\Rightarrow MO\text{//}BC$

Mà $EO\text{//}BC$

$\Rightarrow E,O,M$ thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit)

Bài 5:  Hướng dẫn

a) DE là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow DE\text{//}AB;DI\text{//}AB$

HACB là hình bình hành do:

$FA=FB;FH=FC$  

Hay  $AI\text{ // }BD$

Xét tứ giác BDIA  có: $DI\text{//}AB;AI\text{//}BD$  

BDIA là hình bình hành.

b) Ta có: HIDB là hình thang $\left(HI\text{//}BD\right)$

HACB là hình bình hành nên  $\widehat{AHB\text{}}=\widehat{ACB}$

Mà:

$\widehat{ACB}=\widehat{ABC};\widehat{ABC}=\widehat{AID}$

Vậy  $\widehat{BHI}=\widehat{HID}\Rightarrow BDIH$ là hình thang cân.

c) Ta có $EG\text{ // }AF$ hay G là trung điểm của FC

Dễ dàng chứng minh FECD là hình bình hành từ đó suy ra $GE=GD,$ nên HG là đường trung tuyến của tam giác HDE lại có HF=FC nên HF= 2FG.

Vậy H là trọng tâm tam giác HDE

P/s: Học sinh có thể có nhiều cách chứng minh khác.