Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 11 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 11 có đáp án

Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau

a) $\frac{\left(x-3\right)\left(2y-x\right)}{{\left(x-2y\right)}^2}=\frac{3-x}{x-2y}$

b) $\frac{4-3x}{4+3x}=\frac{9x^2-24x+16}{16-9x^2}$

c)

$$\begin{gathered} \frac{x^3+64}{\left(3-x\right)\left(x^2-4x+16\right)} \\ =\frac{-x-4}{x-3} \end{gathered}$$

d) $\frac{2x^2-7x+6}{2x-3}=\frac{x^2-7x+10}{x-5}$

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

$\frac{9x^2-30xy+25y^2}{25y^2-9x^2}=\frac{5y-3x}{5y+3x}$

b)

$\frac{2x^2-11x+12}{3x^2-14x+8}=\frac{2x-3}{3x-2}$

c)

$\frac{x^3+6x^2-x-30}{x^3+3x^2-25x-75}=\frac{x-2}{x-5}$

d)

$\frac{x^2-2xy-3y^2}{x^2-4xy+3y^2}=\frac{x+y}{x-y}$

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ $BH\perp AC$ tại H. Gọi M là trung điểm của AH,S là trung điểm của CD. Tính $\widehat{BMS}$.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AB bằng đường chéo AC. Gọi O là trung điểm của BC và E là điểm đối xứng của A qua O. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt AC tại F.

a) Chứng minh ABEC là hình thoi

b) Chứng minh tứ giác $ADFE$ là hình chữ nhật.

c) Vẽ $CG\perp AB$ tại $G,CH\perp BE$ tại H. Chứng minh $GH\text{//}AE$.

d) Vẽ $AI\perp CD$ tại I. Chứng minh rằng nếu $AI=AO$ thì $AC\perp BD$ và $\widehat{ABO}=60°$

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(2y-x\right)\left(x-2y\right) \\ =-\left(3-x\right)\left(2y-x\right)\left(x-2y\right) \\ =\left(3-x\right){\left(x-2y\right)}^2 \\ \Rightarrow \frac{\left(x-3\right)\left(2y-x\right)}{{\left(x-2y\right)}^2}=\frac{3-x}{x-2y} \end{gathered}$$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(4-3x\right)\left(16-9x^2\right) \\ =\left(4-3x\right)\left[4^2-{\left(3x\right)}^2\right] \\ =\left(4-3x\right)\left(4-3x\right)\left(4+3x\right) \\ =\left(4+3x\right){\left(4-3x\right)}^2 \\ \left(4+3x\right)\left(9x^2-24x+16\right) \\ =\left(4+3x\right){\left(4-3x\right)}^2 \\ \Rightarrow \frac{4-3x}{4+3x}=\frac{9x^2-24x+16}{16-9x^2} \end{gathered}$$

c) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(x^3+64\right)\left(x-3\right) \\ =\left(x+4\right)\left(x^2-4x+16\right)\left(x-3\right) \\ \begin{array}{l}\left(3-x\right)\left(x^2-4x+16\right)\left(-x-4\right)\\ =-\left(x+4\right)\left(x^2-4x+16\right)\left(3-x\right)\\ =\left(x+4\right)\left(x^2-4x+16\right)\left(x-3\right)\\ \Rightarrow \frac{x^3+64}{\left(3-x\right)\left(x^2-4x+16\right)}=\frac{-x-4}{x-3}\end{array} \end{gathered}$$

d) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(2x^2-7x+6\right)\left(x-5\right) \\ =2x^3-10x^2-7x^2+35x+6x-30 \\ =2x^3-17x^2+41x-30 \\ \left(2x-3\right)\left(x^2-7x+10\right) \\ =2x^3-14x^2+20x-3x^2+21x-30 \\ =2x^3-17x^2+41x-30 \\ \Rightarrow \frac{2x^2-7x+6}{2x-3}=\frac{x^2-7x+10}{x-5} \end{gathered}$$

Bài 2:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(9x^2-30xy+25y^2\right)\left(5y+3x\right) \\ ={\left(3x-5y\right)}^2\left(5y+3x\right) \\ \left(25y^2-9x^2\right)\left(5y-3x\right) \\ =\left(5y-3x\right)\left(5y+3x\right)\left(5y-3x\right) \\ ={\left(5y-3x\right)}^2\left(5y+3x\right) \\ \Rightarrow \frac{9x^2-30xy+25y^2}{25y^2-9x^2} \\ =\frac{5y-3x}{5y+3x} \end{gathered}$$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(2x^2-11x+12\right)\left(3x-2\right) \\ =6x^3-33x^2+36x-4x^2+22x-24 \\ =6x^3-37x^2+58x-24 \\ \left(2x^2-11x+12\right)\left(3x-2\right) \\ =6x^3-33x^2+36x-4x^2+22x-24 \\ =6x^3-37x^2+58x-24 \\ \Rightarrow \frac{2x^2-11x+12}{3x^2-14x+8}=\frac{2x-3}{3x-2} \end{gathered}$$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}\left(x^3+6x^2-x-30\right)\left(x-5\right)\\ =x^4+6x^3-x^2-30x\\ -5x^3-30x^2+5x+150\\ =x^4+x^3-31x^2-25x+150\\ \begin{array}{l}\left(x^3+3x^2-25x-75\right)\left(x-2\right)\\ =x^4+3x^3-25x^2-75x\\ -2x^3-6x^2+50x+150\\ =x^4+x^3-31x^2-25x+150\end{array}\\ \Rightarrow \frac{x^3+6x^2-x-30}{x^3+3x^2-25x-75}=\frac{x-2}{x-5}\end{array}$

d) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(x^2-2xy-3y^2\right)\left(x-y\right) \\ =x^3-2x^{2}y-3x{y}^2-x^{2}y+2x{y}^2+3y^3 \\ =x^3-3x^{2}y-x{y}^2+3y^3 \\ \left(x^2-4xy+3y^2\right)\left(x+y\right) \\ =x^3-4x^{2}y+3x{y}^2+x^{2}y-4x{y}^2+3y^3 \\ =x^3-3x^{2}y-x{y}^2+3y^3 \\ \Rightarrow \frac{x^2-2xy-3y^2}{x^2-4xy+3y^2}=\frac{x+y}{x-y} \end{gathered}$$

Bài 3:

Gọi N là trung điểm của BH suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABH

$\Rightarrow MN\text{//}AB,MN=\frac{1}{2}AB$

Mà $AB=CD$ và $AB\text{//}CD$

$\Rightarrow MN\text{//}CD,MN=\frac{1}{2}CD$

suy ra $MNCS$ là hình bình hành $NC\text{//}MS\left(1\right)$

Ta có:

$MN\text{//}AB,AB\perp BC$

$\Rightarrow MN\perp BC$ tại E (E thuộc BC)

Tam giác BCM có BH và ME là đường cao và cắt nhau tại N

$\Rightarrow CN\perp BM\left(2\right)$

Từ (1);(2) suy ra $MS\perp BM\Rightarrow \widehat{BMS}=90°$ (đpcm)

Bài 4:

a) Vì E đối xứng với A qua O nên O là trung điểm AE mà O cũng là trung điểm BC

nên tứ giác ABEC là hình bình hành mà $AB=AC\left(gt\right)$

Vậy tứ giác ABEC là hình thoi.

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên $AB\text{//}CD$ và $AB=CD$

Tứ giác $ABEC$ là hình thoi nên $AB\text{//}CE$ và $AB=CE$

$\Rightarrow C,D,E$ thẳng hàng và $CD=CE$

$\Rightarrow$ là trung điểm của DE (1)

Xét tam giác $AEF$ vuông tại E có: $AC=CE$ (vì $ABEC$ là hình thoi) nên tam giác $ACE$cân.

$\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$, lại có:

$\widehat{CFE}+\widehat{CAE}=\widehat{CEF}+\widehat{CEA}=90°$

Vậy $\widehat{CEF}=\widehat{CFE}$ hay tam giác $CEF$ cân tại C suy ra $CE=CF=AC$

C là trung điểm AF (2)

Tù (1) và (2) ta có: AEFD là hình bình hành

Mà $AE\perp EF$ nên $AEFD$ là hình chữ nhật.

c) Xét $\Delta BGC$ và $\Delta BHC$ có:

BC là cạnh chung

$\widehat{BGC}=\widehat{BHC}=90°$

$\widehat{GBC}=\widehat{HBC}$ (vì BC là p/g góc ABE của hình thoi ABEC)

Vậy $\Delta BGC=\Delta BHC$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow BG=BH$ mà $BA=BE$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{BG}{BA}=\frac{BH}{BE} \\ \Rightarrow GH\text{//}AE \end{gathered}$$

d) Xét $\Delta ACI$ và $\Delta ACO$ có:

AC chung

$$\begin{gathered} \widehat{AIC}=\widehat{AOC}=90° \\ AI=AO \end{gathered}$$

Vậy $\Delta ACI=\Delta ACO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{ACI}=\widehat{ACO}$ (2 góc tương ứng)

AC là tia phân giác góc BCD

 Hình bình hành ABCD là hình thoi

$\Rightarrow AC\perp BD$ và $BC=CD\Rightarrow BC=AB$

Mà $AB=AC$ (do $ABCE$ là hình thoi) $\Rightarrow \Delta ABC$ đều $\Rightarrow \widehat{ABO}=60°$