Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 22 có đáp án chi tiết

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 22 có đáp án

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$

b) $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-1}{2-x}$

c)

$$\begin{gathered} \frac{x+4}{x^2-3x+2}+\frac{x+1}{x^2-4x+3} \\ =\frac{2x+5}{x^2-4x+3} \end{gathered}$$

d) $\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x\left(x-2\right)}+\frac{x-4}{x\left(x+2\right)}=0$

e)

$$\begin{gathered} \frac{4x}{x^2+4x+3}-1 \\ =6\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2x+2}\right) \end{gathered}$$

f)

$$\begin{gathered} \frac{3}{4\left(x-5\right)}+\frac{15}{50-2x^2} \\ =\frac{7}{6x+30} \end{gathered}$$

g)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1} \\ =\frac{4}{x^2+x+1} \end{gathered}$$

h)

$$\begin{gathered} \frac{12x+1}{6x-2}-\frac{9x-5}{3x+1} \\ =\frac{108x-36x^2-9}{4\left(9x^2-1\right)} \end{gathered}$$

i) $x+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}$

j) $\frac{1}{x}+2=\left(\frac{1}{x}+2\right)\left(x^2+2\right)$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ có $AB=6 cm,$$AC=9 cm,$$BC=10 cm$, đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE.

a) Tính  DB,DC,EB.

b) Đường phân giác CF của $\Delta ABC$ cắt AD ở I. Tính tỉ số diện tích $\Delta DIF$ và diện tích $\Delta ABC$.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong $BD,BC=10 cm,AB=15 cm$. Tính AD,DC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 phân giác trong AM,BN,CP cắt nhau tại I. Chứng minh

a) $\frac{AP}{AP}\cdot \frac{BM}{BC}\cdot \frac{CN}{CA}=1$

b) $\frac{MI}{MA}+\frac{NI}{NB}+\frac{PI}{PC}=1$

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

a) $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$

Điêu kiện:

$\left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 2\end{array}\right.\right.$

Mẫu chung: $\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Phương trình (1) trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\frac{5\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)} \\ =\frac{-3\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)} \\ \Rightarrow 4\left(x-2\right)-5\left(x-1\right) \\ =-3\left(x-1\right)\left(x-2\right) \\ \iff 4x-8-5x+5 \\ =-3\left(x^2-3x+2\right) \\ \iff -x-3=-3x^2+9x-6 \\ \iff 3x^2-10x+3=0 \\ \iff 3x^2-9x-x+3=0 \\ \iff 3x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)=0 \\ \iff \left(x-3\right)\left(3x-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x-3=0\\ 3x-1=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

 $\iff \left[\begin{array}{l}x=3\left(\text{tm}\right)\\ x=\frac{1}{3}\left(L\right)\end{array}\right.$ (nhận)

Vậy  $S=\left\{\frac{1}{3};3\right\}$

b) $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-1}{2-x}$

Điều kiện: $x-2\ne 0\iff x\ne 2$

Mẫu chung: $x-2$

Phương trình (2) trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}-\frac{1}{x-2} \\ =\frac{-\left(x-1\right)}{x-2} \\ \Rightarrow 3x\left(x-2\right)-1 \\ =-\left(x-1\right) \\ \iff 3x^2-6x-1+x-1=0 \\ \iff 3x^2-5x-2=0 \\ \iff 3x^2-6x+x-2=0 \\ \iff 3x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0 \\ \iff \left(x-2\right)\left(3x+1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ 3x+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2\left(L\right)\\ x=\frac{-1}{3}\left(\text{tm}\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $S=\left\{\frac{-1}{3}\right\}$

c)  

$$\begin{gathered} \frac{x+4}{x^2-3x+2}+\frac{x+1}{x^2-4x+3} \\ =\frac{2x+5}{x^2-4x+3} \\ \iff \frac{x+4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)} \\ =\frac{2x+5}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\left(3\right) \end{gathered}$$

Điều kiện :

$\left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x-2\ne 0\\ x-3\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 2\\ x\ne 3\end{array}\right.\right.$

Phương trình (3) trở thành

$$\begin{gathered} \frac{\left(x+4\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)} \\ +\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)} \\ =\frac{\left(2x+5\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)} \\ \Rightarrow \left(x+4\right)\left(x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ =\left(2x+5\right)\left(x-2\right) \\ \iff x^2+x-12+x^2-x-2 \\ =2x^2+x-10 \\ \iff -x=4 \end{gathered}$$

$\iff -x=4$ (nhận)

Vậy $S=\left\{-4\right\}$

d)

$$\begin{gathered} \frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x\left(x-2\right)}+\frac{x-4}{x\left(x+2\right)}=0 \\ \iff \frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{1}{x\left(x-2\right)} \\ +\frac{x-4}{x\left(x+2\right)}=0 \end{gathered}$$(4)

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x+2\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -2\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Mẫu chung: $x\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ 

Phương trình (4) trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)x}-\frac{1\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)} \\ +\frac{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}{x\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0 \\ \begin{array}{l}\Rightarrow 2x-\left(x+2\right)+\left(x-4\right)\left(x-2\right)=0\\ \iff 2x-x-2+x^2-6x+8=0\\ \iff x^2-5x+6=0\\ \iff x^2-2x-3x+6=0\\ \iff x(x-2)-3(x-2)=0\\ \iff (x-2)(x-3)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x-3=0\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.\right.\end{array} \end{gathered}$$

Vậy  $S=\left\{3\right\}$

e)

$$\begin{gathered} \frac{4x}{x^2+4x+3}-1 \\ =6\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2x+2}\right) \\ \iff \frac{4x}{(x+1)(x+3)}-1 \\ =6\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2(x+1)}\right)\left(5\right) \end{gathered}$$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1\ne 0\\ x+3\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne -3\end{array}\right.$

Mẫu chung: $2\left(x+1\right)\left(x+3\right)$

Phương trình (5) trở thành:

$\begin{array}{l}\frac{4.2x}{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-\frac{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\\ =6\left(\frac{1\left(x+1\right).2}{\left(x+3\right)\left(x+1\right).2}-\frac{1\left(x+3\right)}{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\right)\\ \Rightarrow 4.2x-2\left(x+1\right)\left(x+3\right)\\ =6\left(2\left(x+1\right)-(\left(x+3\right)\right)\\ \iff 8x-2\left(x^2+4x+3\right)\\ =6\left(2x+2-x-3\right)\\ \iff 8x-2x^2-8x-6=6\left(x-1\right)\\ \iff -2x^2-6x=0\\ \iff -2x\left(x+3\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x+3=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{ll}x=0& \left(\text{t/m}\right)\\ x=-3& \left(L\right)\end{array}\right.\end{array}$

 Vậy $S=\left\{0\right\}$

f)

$$\begin{gathered} \frac{3}{4\left(x-5\right)}+\frac{15}{50-2x^2}=\frac{7}{6x+30} \\ \iff \frac{3}{4\left(x-5\right)}-\frac{15}{2\left(x^2-25\right)} \\ =\frac{7}{6(x+5)} \\ \iff \frac{3}{4(x-5)}-\frac{15}{2\left(x-5\right)\left(x+5\right)} \\ =\frac{7}{6\left(x+5\right)}\left(6\right) \end{gathered}$$

Điều kiện:  $\left\{\begin{array}{l}x+5\ne 0\\ x-5\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -5\\ x\ne 5\end{array}\right.$

Mẫu chung: $12\left(x+5\right)\left(x-5\right)$

Phương trình (6) trở thành

$$\begin{gathered} \frac{3.3\left(x+5\right)}{4.3\left(x+5\right)\left(x-5\right)}-\frac{15.6}{2\left(x-5\right)\left(x+5\right)} \\ =\frac{7.2\left(x-5\right)}{6\left(x+5\right).2\left(x-5\right)} \\ \begin{array}{l}\Rightarrow 9\left(x+5\right)-15.6=14\left(x-5\right)\\ \iff 9x+45-90=14x-70\\ \iff -5x=-25\end{array} \end{gathered}$$

$\iff x=5$ (loại)

Vậy  $S=\{\varnothing \}$

g)  

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1} \\ =\frac{4}{x^2+x+1} \\ \iff \frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{4}{x^2+x+1}\left(7\right) \end{gathered}$$

Điều kiện: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$

vì $x^2+x+1>0\forall x$

Mẫu chung:  $\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$

Phương trình (7) trở thành

$\begin{array}{l}\frac{1\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\\ =\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}\\ \Rightarrow x^2+x+1+2x^2-5=4x-4\\ \iff 3x^2-3x=0\\ \iff 3x(x-1)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\left(\text{tm}\right)\\ x=1\left(L\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $S=\left\{0\right\}$

h)

$$\begin{gathered} \frac{12x+1}{6x-2}-\frac{9x-5}{3x+1} \\ =\frac{108x-36x^2-9}{4\left(9x^2-1\right)} \\ \iff \frac{12x+1}{2\left(3x-1\right)}-\frac{9x-5}{3x+1} \\ =\frac{108x-36x^2-9}{4\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}\left(8\right) \end{gathered}$$

Điều kiện:  $\left\{\begin{array}{l}3x-1\ne 0\\ 3x+1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{1}{3}\\ x\ne \frac{-1}{3}\end{array}\right.$

Mẫu chung:  $4\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)$

Phương trình (8) trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{2\left(12x+1\right)\left(3x+1\right)}{2.2\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)} \\ -\frac{4\left(9x-5\right)\left(3x-1\right)}{4\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)} \\ =\frac{108x-36x^2-9}{4\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)} \\ \begin{array}{l}\Rightarrow 2\left(12x+1\right)\left(3x+1\right)\\ -4\left(9x-5\right)\left(3x-1\right))\\ =108x-36x^2-9\\ \iff 2\left(36x^2+15x+1\right)\\ -4\left(27x^2-24x+5\right)\\ -108x+36x^2+9=0\\ \iff 72x^2+30x+2\\ -108x^2+96x-20\\ -108x+36x^2+9=0\\ \iff 18x-9=0\end{array} \end{gathered}$$

$\iff x=\frac{9}{18}\iff x=\frac{1}{2}$ (nhận)

Vậy  $S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$

i)

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2} \\ \iff x+\frac{1}{x}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2x.\frac{1}{x} \\ \iff {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)-2=0 \end{gathered}$$

Điều kiện:  $x\ne 0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t,$ phương trình (9) trở thành

$\begin{array}{l}{t}^2-t-2=0\\ \iff t^2+t-2t-2=0\\ \iff t\left(t+1\right)-2\left(t+1\right)=0\\ \iff \left(t-2\right)\left(t+1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}t-2=0\\ t+1=0\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=-1\end{array}\right.\right.\end{array}$

Với $t=2,$ ta có :

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{x}=2\Rightarrow x^2+1=2x \\ \iff x^2-2x+1=0 \end{gathered}$$

$\iff {\left(x-1\right)}^2=0$

$\iff x-1=0\iff x=1$ (nhận)

Với $t=-1,$ ta có :

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{x}=-1 \\ \Rightarrow x^2+1=-x \\ \iff x^2+x+1=0 \end{gathered}$$

$\iff {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=0$ (vô nghiệm)

vì ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x$

Vậy  $S=\left\{1\right\}$

j) 

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+2=\left(\frac{1}{x}+2\right)\left(x^2+2\right) \\ \iff \frac{1}{x}+2-\left(\frac{1}{x}+2\right)\left(x^2+2\right)=0 \end{gathered}$$

Điều kiện: $x\ne 0$ 

$\begin{array}{l}\iff \left(\frac{1}{x}+2\right)-\left(\frac{1}{x}+2\right)\left(x^2+2\right)=0\\ \iff \left(\frac{1}{x}+2\right)\left(1-x^2-2\right)=0\\ \iff \left(\frac{1}{x}+2\right)\left(-x^2-1\right)=0\\ \iff -\left(\frac{1}{x}+2\right)\left(x^2+1\right)=0\\ \iff \frac{1}{x}+2=0\end{array}$

Vì $\left(x^2+1\right)>0\forall x\Rightarrow 1+2x=0$

$\iff x=\frac{-1}{2}$

Vậy  $S=\left\{\frac{-1}{2}\right\}$

Bài 2:

Ta có:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

(do AD là phân giác trong của $\Delta ABC$)

$\Rightarrow BD=\frac{2}{3}\cdot DC$

Mà $BD+DC=BC=10$ (do D nằm giữa B và C)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{2}{3}DC+DC=10 \\ \Rightarrow \frac{5}{3}DC=10 \\ \Rightarrow DC=6 cm \\ \Rightarrow BD=4 cm \end{gathered}$$

Ta có: $CE=BE+BC=BE+10$ (do B nằm giữa E và C)

Và $\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$ (do AE là phân giác ngoài của $\Delta ABC$)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{BE}{BE+10}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow 3BE=2\left(BE+10\right) \\ \Rightarrow BE=20 cm \end{gathered}$$

Vậy $BD=4 cm,DC=6 cm,BE=20 cm$

Bài 3:

$$\begin{gathered} \frac{DA+DC}{DC}=\frac{BA+BC}{BC} \\ \Rightarrow \frac{AC}{DC}=\frac{15+10}{10} \\ \Rightarrow DC=\frac{10.AC}{25} \\ =\frac{10.15}{25}=6( cm) \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} DA+DC=AC \\ \Rightarrow AD=AC-DC \\ =15-6=9( cm) \end{gathered}$$

Bài 4:

a) Ta có AM là phân giác của góc A

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có

$\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$

Tương tự đối với các đường phân giác BN,CP ta có:

$\frac{NC}{NA}=\frac{BC}{BA};\frac{PA}{PB}=\frac{CA}{CB}$

Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB} \\ =\frac{AB}{AC}\cdot \frac{BC}{BA}\cdot \frac{CA}{CB}=1 \end{gathered}$$

Vậy $\frac{AP}{AP}\cdot \frac{BM}{BC}\cdot \frac{CN}{CA}=1$

b) Gọi a,b,c lần lượt là độ dài của các cạnh BC,CA,AB.

Trong $\Delta ABM$ thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên

$$\begin{gathered} \frac{MI}{IA}=\frac{BM}{BA}=\frac{BM}{c} \\ \Rightarrow \frac{MI}{MI+IA}=\frac{BM}{BM+c} \\ \Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{BM}{BM+c} \left(1\right) \end{gathered}$$

Trong $\Delta ACM$ thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên

$$\begin{gathered} \frac{MI}{IA}=\frac{CM}{CA}=\frac{CM}{b} \\ \Rightarrow \frac{MI}{MI+IA}=\frac{CM}{CM+b} \\ \Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{CM}{CM+b} \end{gathered}$$

Mà CM = BC - BN = a - BM.

Nên  $\frac{MI}{MA}=\frac{a-BM}{a-BM+b} \left(2\right)$

So sánh (1) và (2) ta có:

$$\begin{gathered} \frac{MI}{MA}=\frac{BM}{BM+c} \\ =\frac{a-BM}{a-BM+b} \\ =\frac{BM+a-BM}{BM+c+a-BM+b} \\ \Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{a}{a+b+c} \end{gathered}$$

Chứng minh tương tự ta có:

$\frac{NI}{BN}=\frac{b}{a+b+c}$

$\frac{PI}{CP}=\frac{c}{a+b+c}$

Suy ra:

$$\begin{gathered} \frac{MI}{MA}+\frac{NI}{BN}+\frac{PI}{CP} \\ =\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c} \\ +\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1 \end{gathered}$$

Vậy $\frac{MI}{MA}+\frac{NI}{NB}+\frac{PI}{PC}=1$