Giải Toán 7 trang 120 Tập 2 Cánh diều

Với giải bài tập Toán lớp 7 trang 120 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7 trang 120 Tập 2.

1 740 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 7 trang 120 Tập 2

Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

Chứng minh:

a) $∆$ OMA = $∆$ OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Lời giải:

$∆$ ABC, O là giao điểm của ba đường trung trực,

MP $⊥$ OA, MN $⊥$ OB, NP $⊥$ OC

a) $∆$ OMA = $∆$ OMB và tia MO là tia phân giác của $\hat{N M P};$

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Chứng minh (Hình 144):

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$ OAM (vuông tại A) và $∆$ OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung,

OA = OB (chứng minh trên),

Do đó $∆$ OAM = $∆$ OBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{O M A} = \hat{O M B}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó MO là tia phân giác của $\hat{B M A}$ hay MO là tia phân giác của $\hat{N M P}$ .

Vậy tia MO là tia phân giác của $\hat{N M P}$

b) Nối OP (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)

Xét $∆$ OAP (vuông tại A) và $∆$ OCP (vuông tại C) có:

OP là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên),

Do đó $∆$ OAP = $∆$ OCP (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{O P A} = \hat{O P C}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó PO là tia phân giác của $\hat{A P C}$ hay PO là tia phân giác của $\hat{M P N}$ .

Trong một tam giác, ba đường phân giác của tam giác đó luôn cùng đi qua một điểm

Mà O là giao điểm hai đường phân giác của góc $\hat{N M P}$ và góc $\hat{M P N}$ , do đó O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

$∆$ ABC cân tại A,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

Các điểm A, G, H, I, O phân biệt

Các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)

+) Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó AM là đường trung tuyến của $∆$ ABC.

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.

Do đó A, G, M thẳng hàng (1).

+) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Xét $∆$ AMB và $∆$ AMC có:

AK là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh trên),

Do đó $∆$ AMB = $∆$ AMC (c.c.c).

Suy ra $\hat{A M B} = \hat{A M C}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180 °$ (hai góc kề bù) nên $\hat{A M B} = \hat{A M C} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Do đó AM $⊥$ BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.

Do đó A, H, M thẳng hàng (2).

+) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$ OBM và $∆$ OCM có:

OK là cạnh chung,

OB = OC (chứng minh trên),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó $∆$ OBM = $∆$ OCM (c.c.c).

Suy ra $\hat{O M B} = \hat{O M C}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{O M B} + \hat{O M C} = 180 °$ (hai góc kề bù) nên $\hat{O M B} = \hat{O M C} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Do đó OK $⊥$ BC.

Lại có AM $⊥$ BC (chứng minh trên)

Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).

+) Do BI là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{I B C} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ .

Do CI là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{I C B} = \frac{1}{2} \hat{A C B}$ .

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (chứng minh trên) nên $\hat{I B C} = \hat{I C B}$

Tam giác IBC có $\hat{I B C} = \hat{I C B}$ nên tam giác IBC cân tại I, do đó IB = IC.

Xét $∆$ IBM và $∆$ ICM có:

IB = IC (chứng minh trên),

$\hat{I B M} = \hat{I C M}$ (do $\hat{I B C} = \hat{I C B}$ ),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó $∆$ IBM = $∆$ ICM (c.g.c).

Suy ra $\hat{I M B} = \hat{I M C}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{I K B} + \hat{I K C} = 180 °$ (hai góc tương ứng) nên $\hat{I M B} = \hat{I M C} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Do đó IM $⊥$ BC.

Lại có AM $⊥$ BC (chứng minh trên)

Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.

Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

$∆$ ABC,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

Các điểm A, G, H, I, O phân biệt,

A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng.

Tam giác ABC cân tại A.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)

Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.

Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.

Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ nên AM là đường phân giác của $\hat{B A C}$ .

Do đó $\hat{MA B} = \hat{MA C}$ .

Xét $∆$ ABM (vuông tại M) và $∆$ ACM (vuông tại M) có:

$\hat{MA B} = \hat{MA C}$ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ ABM = $∆$ ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Lời giải:

Để tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất thì AD là nhỏ nhất.

Khi đó theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi AD là đường vuông góc kẻ từ D tới BC (tức là AD $⊥$ BC) hay D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Khi đó H chính là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra đường cao AD của tam giác ABC đi qua điểm H.

Do đó HD $⊥$ BC tại D.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, cắt BC tại một điểm.

Điểm này chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)