Giải Toán 7 trang 118 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 7 trang 118 Tập 2

Luyện tập 3 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Do H là trực tâm đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:

+) CM $\perp$ AB tại trung điểm M của AB, do đó CM là đường trung trực của AB

Nên C nằm trên đường trung trực của AB suy ra CA = CB. (1)

+) BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC, do đó BN là đường trung trực của AC

Nên B nằm trên đường trung trực của AC suy ra BA = BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Vậy tam giác ABC đều.

B. Bài tập

Bài 1 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:

a) AH và BC;

b) BH và CA;

c) CH và AB.

Lời giải:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH $\perp$ BC.

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH $\perp$ CA.

c) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH $\perp$ AB.

Bài 2 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Lời giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

Trong hình vẽ trên, điểm H nằm trong tam giác ABC.

b) Ta có hình vẽ sau:

Tam giác ABC vuông tại A nên BA $\perp$ CA tại A.

Do đó BA và CA là hai đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Mà BA cắt CA tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó điểm H trùng với điểm A.

c) Ta có hình vẽ sau:

Trong hình vẽ trên, điểm H nằm ngoài tam giác ABC.

Bài 3 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Tam giác ABC có DA $\perp$ BC, DB $\perp$ CA (giả thiết)

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC $\perp$ AB.

Vậy DC $\perp$ AB.

Bài 4 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, $\widehat{HCA}=25°$. Tính $\widehat{BAC}$ và $\widehat{HBA}$.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì CF $\perp$ AB (giả thiết) nên tam giác ACF vuông tại F.

Xét $∆$ACF vuông tại F: $\widehat{FCA}+\widehat{F\text{A}C}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra $\widehat{F\text{A}C}=90°-\widehat{FCA}=90°-25°=65°$ hay $\widehat{BAC}=65°$.

Vì BE $\perp$ AC (giả thiết) nên tam giác ABE vuông tại E.

Xét $∆$ABE vuông tại E: $\widehat{ABE}+\widehat{\text{BAE}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra $\widehat{ABE}=90°-\widehat{BAE}=90°-65°=25°$ hay $\widehat{HBA}=25°$.

Vậy $\widehat{BAC}=65°$ và $\widehat{HBA}=25°$.

Bài 5 trang 118 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 139):

+) Vì K là trực tâm của tam giác ACD (giả thiết) nên AK $\perp$ CD.

Mà AB // CD (giả thiết) nên AK $\perp$ AB.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên CH $\perp$ AB.

Do đó AK // CH.

+) Vì K là trực tâm của tam giác ACD (giả thiết) nên CK $\perp$ AD.

Mà AD // BC (giả thiết) nên CK $\perp$ BC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên AH $\perp$ BC.

Do đó AH // CK.

Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

a)

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Kéo dài AI cắt BC tại M, kéo dài BI cắt AC tại N, kéo dài CP cắt AB tại P.

Khi đó AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAM};$

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA.

Xét $∆$ABM và $∆$ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM  (c.g.c).

Suy ra:

• $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng);

• BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vì BM = CM nên M là trung điểm của BC.

Ta có $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$, mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Khi đó AM $\perp$ BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của $∆$ABC.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) BN là đường trung trực của đoạn thẳng AC, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ B của $∆$ABC.

+) CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C của $∆$ABC.

Mà AM, BN, CP cắt nhau tại I nên G, H, I, O trùng nhau.

b)

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì I là giao điểm ba đường phân giác, H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:

+ AI là đường phân giác và AH là đường cao kẻ từ A của $∆$ABC.

Mà I ≡ H (giả thiết) nên đường phân giác AI trùng với đường cao AH.

+ Tương tự đường phân giác BI trùng đường cao BH;

+ Đường phân giác CI trùng đường cao CH.

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao (hay cũng chính là đường phân giác) kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét $∆$ABM (vuông tại M) và $∆$ACM (vuông tại M) có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$),

AM là cạnh chung

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng). (1)

Xét $∆$ABN (vuông tại N) và $∆$CBN (vuông tại N) có:

BN là cạnh chung,

$\widehat{ABN}=\widehat{CBN}$ (do BN là tia phân giác của $\widehat{ABC}$),

Do đó $∆$ABN = $∆$CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = BC (hai cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 116 Tập 2

Giải Toán 7 trang 117 Tập 2

Giải Toán 7 trang 118 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ