Giải Toán 10 trang 35 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 35 Tập 2

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)⁴

b) (x + 2y)⁵

Lời giải:

a) (x – 2)⁴ 

$=C_4^0{x}^4-2C_4^1{x}^3+4C_4^2{x}^2-8C_4^3{x}^3+16C_4^4$

$=x^4-8x^3+24x^2-32x^3+16$.            

b) ( x + 2y)⁵

 $$\begin{gathered} =C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4.2y+C_5^2{x}^3{\left(2y\right)}^2+C_5^3{x}^2{\left(2y\right)}^3+C_5^{4}x{\left(2y\right)}^4+C_5^5{\left(2y\right)}^5 \\ =x^5+10x^{4}y+40x^3{y}^2+80x^2{y}^3+80x{y}^4+32y^5 \end{gathered}$$      

Hoạt động thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng công thức của nhị thức Newton chứng tỏ rằng:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4 \\ =C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3{.2}^1+C_4^2{.1}^2{.2}^2+C_4^3{\mathrm{.1.2}}^3+C_4^4{.2}^4 \end{gathered}$$

Áp dụng công thức của nhị thức Newton ta có:

$C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ = (1 + 2)⁴ = 3⁴ = 81 (đpcm).

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.{(-2)}^1+C_4^2{.1}^2.{(-2)}^2+C_4^3{.1}^1.{(-2)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

Áp dụng công thức của nhị thức Newton ta có:

$C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ = (1 – 2)⁴ = (–1)⁴ = 1 (đpcm).

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Lời giải:

Mỗi cách lựa chọn mua vé của khách hàng là một tổ hợp chập k của 4 . Do đó, số phương thức mua vé là $C_4^k$ , mà tính cả trường hợp không mua vé nào cả. Vậy số phương thức lựa chọn mua một số vé trong số các vé sổ số đó bằng: $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ .         

Theo công thức của nhị thức Newton, ta có:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ = (1 + 1)⁴ = 2⁴ = 16 cách thức lựa chọn mua vé sổ số 

B. Bài tập

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴                                        

b) (x – $\sqrt{2}$)⁵

Lời giải:

a) (3x + y)⁴  = $C_4^0{\left(3x\right)}^4+C_4^1{\left(3x\right)}^{3}y+C_4^2{\left(3x\right)}^2{y}^2+C_4^3.3x{y}^3+C_4^4{y}^4$

                    =  81x⁴ +108x³y + 54x²y² + 12xy³ + y⁴.   

Vậy (3x + y)⁴  = 81x⁴ + 108x³y + 54x²y² + 12xy³ + y⁴.   

b)

(x – $\sqrt{2}$)⁵ = $C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4(-\sqrt{2})+C_5^2{x}^3{(-\sqrt{2})}^2+C_5^3{x}^2{(-\sqrt{2})}^3+C_5^{4}x{(-\sqrt{2})}^4+C_5^5{(-\sqrt{2})}^5$

               = x⁵ – 5$\sqrt{2}$ x⁴ + 20x³ – 20$\sqrt{2}$ x² + 20x – 4$\sqrt{2}$ .

Vậy (x – $\sqrt{2}$)⁵ = x⁵ – 5$\sqrt{2}$ x⁴ + 20x³ – 20$\sqrt{2}$ x² + 20x – 4$\sqrt{2}$ .

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Triển khai và rút gọn các biểu thức sau:

a) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴;                            

b) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ +  (2 – $\sqrt{2}$ )⁴;                 

c) (1 – $\sqrt{3}$ )⁵

Lời giải:

a) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴  $=C_4^0{2}^4+C_4^1{2}^3.\sqrt{2}+C_4^2{2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2+C_4^{3}2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4$     

                      = 16 + 32$\sqrt{2}$  + 48 + 16$\sqrt{2}$  + 4 = 68 + 48$\sqrt{2}$ .

Vậy (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ = 68 + 48$\sqrt{2}$

b) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ +  (2 – $\sqrt{2}$ )⁴        

Ta có: (2 - $\sqrt{2}$ )⁴  $=C_4^0{2}^4-C_4^1{2}^3.\sqrt{2}+C_4^2{2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2-C_4^{3}2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4$        

                      = 16 – 32$\sqrt{2}$  + 48 – 16$\sqrt{2}$  + 4 = 68 – 48$\sqrt{2}$ .

Vậy (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ +  (2 – $\sqrt{2}$ )⁴ = 68 + 48$\sqrt{2}$ + 68 – 48$\sqrt{2}$ = 68 + 68 = 136

c) (1 – $\sqrt{3}$ )⁵

$=C_5^0{.1}^5-C_5^1{.1}^4.\sqrt{3}+C_5^2{.1}^3.{\left(\sqrt{3}\right)}^2-C_5^3{.1}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^3+C_5^4\mathrm{.1.}{\left(\sqrt{3}\right)}^4-C_5^1.{\left(\sqrt{3}\right)}^5$

= 1 – 5$\sqrt{3}$ + 30 – 30$\sqrt{3}$  + 45 – 9$\sqrt{3}$ = 76 – 44$\sqrt{3}$ .

Vậy (1 – $\sqrt{3}$ )⁵ = 76 – 44$\sqrt{3}$  

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵

Lời giải:

Ta có: (3x – 2)⁵ = $C_5^0{\left(3x\right)}^5-C_5^1{\left(3x\right)}^4.2+C_5^2{\left(3x\right)}^3{.2}^2-C_5^3{\left(3x\right)}^2{.2}^3+C_5^{4}3x{.2}^4-C_5^5{2}^5$

                          = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Vậy hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵ là: 1080.

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Chứng minh rằng: $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$ .

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=C_5^0{1}^5+C_5^1{1}^4(-1)+C_5^2{1}^3{(-1)}^2+ \\ {C}_5^3{1}^2{(-1)}^3+C_5^{4}1{(-1)}^4+C_5^5{(-1)}^5 \end{gathered}$$

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

$C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=$(1 – 1)⁵ = 0 (đpcm).

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Cho A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A

Lời giải:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử là một tập hợp chập k của 5. Do đó số tập con như vậy bằng $C_5^k$

+ Số tập hợp con có số lẻ phần tử của A gồm các trường hợp sau:

- Tập con có 1 phần tử: $C_5^1$ ;

- Tập con có 3 phần tử: $C_5^3$ ;

- Tập con có 5 phần tử: $C_5^5$ .

Do đó tổng số tập con có lẻ phần tử là  $C_5^1+C_5^3+C_5^5$  (tập).

+ Số tập hợp con có số chẵn phần tử của A gồm các trường hợp sau:

- Tập con có 0 phần tử: $C_5^0$ ;

- Tập con có 2 phần tử: $C_5^2$ ;

- Tập con có 4 phần tử: $C_5^4$ .

Do đó tổng số tập con có lẻ phần tử là $C_5^0+C_5^2+C_5^4$  (tập).

Mà ta có $C_5^1=C_5^4;C_5^3=C_5^2;C_5^5=C_5^0$  nên $C_5^1+C_5^3+C_5^5$  =  $C_5^4+C_5^2+C_5^0$

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 33 Tập 2

Giải Toán 10 trang 35 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ