Giải Toán 10 trang 33 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 33 Tập 2

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²   ; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết được công thức khai triển biểu thức (a + b)ⁿ với n > 0 như sau:

(a + b)ⁿ = $C_n^0$ aⁿ + $C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$ .

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴  = (a + b) (a + b)³ = =  a⁴ +  a³b +  a²b² +   ab³ +  b⁴

Tính giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  rồi so sánh với hệ số của triển khai trên

Từ đó hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Các hệ số tương ứng của các số hạng của khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

iii) Ta có: $C_3^0=1;C_3^1=3;C_3^2=3;C_3^3=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$  lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển trên.

b) Ta có: (a + b)⁴  = (a + b) (a + b)³ =  (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)   

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + (3a³b + a³b) + (3a²b² + 3a²b²) + (ab³+ 3ab³) + b⁴

=  a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Giá trị của $C_4^0=1;C_4^1=4;C_4^2=6;C_4^3=4;C_4^4=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng trong khai triển trên.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  ta viết lại công thức khai triển (a + b)⁴ như sau:

(a + b)⁴  = $C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

c) Ta có dự đoán công thức như sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ .

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

(a + b)⁵ = (a + b)².(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁵ + 3a⁴b + 3a³b² + a²b³ + 2a⁴b + 6a³b² + 6a²b³ + 2ab⁴ + a³b² + 3a²b³ + 3ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Mà  $C_5^0$ = 1, $C_5^1$  = 5, $C_5^2$  = 10, $C_5^3$  = 10, $C_5^4$  = 5, $C_5^5$  = 1.

Khi đó (a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ luôn đúng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 33 Tập 2

Giải Toán 10 trang 35 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ