Hoạt động khám phá trang 33 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton 

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴  = (a + b) (a + b)³ = =  a⁴ +  a³b +  a²b² +   ab³ +  b⁴

Tính giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  rồi so sánh với hệ số của triển khai trên

Từ đó hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Các hệ số tương ứng của các số hạng của khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

iii) Ta có: $C_3^0=1;C_3^1=3;C_3^2=3;C_3^3=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$  lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển trên.

b) Ta có: (a + b)⁴  = (a + b) (a + b)³ =  (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)   

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + (3a³b + a³b) + (3a²b² + 3a²b²) + (ab³+ 3ab³) + b⁴

=  a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Giá trị của $C_4^0=1;C_4^1=4;C_4^2=6;C_4^3=4;C_4^4=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng trong khai triển trên.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  ta viết lại công thức khai triển (a + b)⁴ như sau:

(a + b)⁴  = $C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

c) Ta có dự đoán công thức như sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ .

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

(a + b)⁵ = (a + b)².(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁵ + 3a⁴b + 3a³b² + a²b³ + 2a⁴b + 6a³b² + 6a²b³ + 2ab⁴ + a³b² + 3a²b³ + 3ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Mà  $C_5^0$ = 1, $C_5^1$  = 5, $C_5^2$  = 10, $C_5^3$  = 10, $C_5^4$  = 5, $C_5^5$  = 1.

Khi đó (a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ luôn đúng.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 10 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2: Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển... 

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:... 

Hoạt động thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức của nhị thức Newton chứng tỏ rằng:... 

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng... 

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:... 

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Triển khai và rút gọn các biểu thức sau:... 

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵... 

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh rằng: $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$... 

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Cho A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅} là một tập hợp có 5 phần tử...