Giải Toán 10 trang 13 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 13 Tập 2

Bài 2 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 2x² – 15x + 28 ≥ 0;

b) – 2x² + 19x + 255 > 0;

c) 12x² < 12x – 8;

d) x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 15x + 28 có ∆ = (-15)² – 4.2.28 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = 4, x₂ = $\frac{7}{2}$  và a = 2 > 0.

Do đó f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; 4) và $\left(\frac{7}{2};+\infty \right)$  và f(x) = 0 với x = 4, x = $\frac{7}{2}$ .

Vậy bất phương trình 2x² – 15x + 28 ≥ 0 có tập nghiệm là S = (-∞; 4] ∪ $\left[\frac{7}{2};+\infty \right)$ .

b) Tam thức bậc hai g(x) =  – 2x² + 19x + 255 có ∆ = 19² – 4.(-2).255 = 2 401 > 0. Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 17,  x₂ = $-\frac{15}{2}$  và a = - 2 < 0.

Suy ra g(x) dương khi x thuộc khoảng $\left(-\frac{15}{2};17\right)$ .

Vậy bất phương trình – 2x² + 19x + 255 > 0 có tập nghiệm S = $\left(-\frac{15}{2};17\right)$ .

c) Ta có: 12x² < 12x – 8 ⇔ 12x² – 12x + 8 < 0

Tam thức bậc hai h(x) = 12x² – 12x + 8 có ∆ = (-12)² – 4.12.8 = -240 < 0. Do đó h(x) vô nghiệm và a = 12 > 0.

Suy ra h(x) dương với mọi giá trị của x.

Vậy bất phương trình 12x² < 12x – 8 có tập nghiệm là S = $\varnothing$ .

d) Ta có: x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x ⇔ - 4x² + 4x – 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai k(x) = – 4x² + 4x – 1 có ∆ = 4² – 4.(-4).(-1) = 0. Do đó k(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = $\frac{1}{2}$  và a = - 4 < 0.

Suy ra k(x) = 0 khi x = $\frac{1}{2}$  và k(x) < 0 với mọi x ≠ $\frac{1}{2}$ .

Vậy bất phương trình x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x có tập nghiệm S = $\left\{\frac{1}{2}\right\}$ .

Bài 3 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50m². Hỏi chiều rộng vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Lời giải:

Mảnh đất hình chữ nhật có 30m hàng rào nghĩa là chu vi mảnh đấy hình chữ nhật là 30m. Khi đó nửa chu vi của hình chữ nhật là 30 : 2 = 15 (m).

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 15).

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là x(15 – x) = - x² + 15x (m).

Vì diện tích mảnh vườn hoa ít nhất là 50 m² nên – x² + 15x ≥ 50 ⇔ - x² + 15x – 50 ≥ 0.

Tam thức bậc hai – x² + 15x – 50 có ∆ = 15² – 4.(-1).(-50) = 25 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5, x₂ = 10 và a = -1 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x nằm trong khoảng (5; 10) và f(x) = 0 khi x = 5 hoặc x = 10.

Do đó đó - x² + 15x – 50 ≥ 0 khi x ∈ [5; 10].

Vậy chiều rộng của mảnh vườn nằm trong đoạn [5; 10] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Một quả bóng được ném thẳng ở độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số h(t) = - 4,9t² + 10t + 1,6. Hỏi:

a) Bóng có thể cao trên 7m không?

b) Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Xét hiệu h(t) – 7 = - 4,9t² + 10t + 1,6 – 7 = - 4,9t² + 10t – 5,4 là hàm số bậc hai với a = -4,9, b = 10, c = - 5,4 và ∆ = 10² – 4.(-4,9).(-5,4) = -5,84 < 0. Do đó tam thức -4,9t² + 10t – 5,4 vô nghiệm và a = - 4,9 > 0 nên - 4,9t² + 10t – 5,4 < 0 với mọi t hay h(t) – 7 < 0 với mọi t.

⇔ h(t) < 7 với mọi t.

Vì vậy bóng không thể đạt độ cao trên 7m.

b) Bóng ở độ cao trên 5m nghĩa là h(t) ≥ 5 ⇔ -4,9t² + 10t + 1,6 ≥ 5

⇔ -4,9t² + 10t + 1,6 – 5 ≥ 0

⇔ -4,9t² + 10t – 3,4 ≥ 0.

Tam thức k(t) = -4,9t² + 10t – 3,4 có ∆ = 10² – 4.(-4,9).(-3,4) = 33,36 > 0. Do đó k(t) có hai nghiệm phân biệt t₁ ≈ 1,61 và t₂ ≈ 0,43.

Suy ra k(t) > 0 khi t ∈ (0,43; 1,61).

Khi đó bóng ở độ cao trên 5m nằm trong khoảng thời gian từ 1,61 – 0,43 = 1,18s.

Vậy trong khoảng thời gian 1,18s thì bóng ở độ cao trên 5m.

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoáng sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số y = - 0,006x² với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như trong Hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Lời giải:

Gọi A, H, B lần lượt là các điểm trên hình vẽ:

Đổi 15cm = 0,15 m

Để tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm thì OH ≤ 0,15 hay – (– 0,006x²) ≤ 0,15

⇔ x² – 25 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 25 có ∆ = 0² – 4.(-25) = 100 > 0, a = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = - 5 và x₂ = 5.

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) không âm khi x thuộc đoạn [-5; 5].

Tương ứng x₁, x₂ lần lượt là hoành độ của các điểm A và B. Khi đó AB = |x₂ – x₁| = |5 – (-5)| = 10.

Vậy độ rộng của đường là 10 m thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 11 Tập 2

Giải Toán 10 trang 12 Tập 2

Giải Toán 10 trang 13 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Newton