Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Bài 3 trang 86, trang 87 Toán 7 Tập 2: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):

 

– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.

– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.

Khi đó, E là vị trí của cây cầu.

Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì

MA + MB > EA + EB.

Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?

Lời giải

Vị trí của hai xã và bờ sông Lam được mô tả như hình vẽ.

GT	Đường thẳng d, A, B nằm cùng một phía với d $AH\perp d$ (H ∈ d), AH = HC BC cắt d tại E, M ∈ d
KL	Khẳng định MA + MB > EA + EB là đúng hay sai? Vì sao?

Chứng minh (Hình dưới đây):

 

Nối đoạn thẳng CM.

+) Vì $AH\perp d$ (H ∈ d) nên $\widehat{AHE}=\widehat{CHE}=90°$ 

Do đó tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H).

Xét tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H) ta có:

AH = CH (giả thiết)

HE là cạnh chung

Suy ra ∆AHE = ∆CHE (hai cạnh góc vuông)

Do đó AE = CE (hai cạnh tương ứng)

Nên EA + EB = EC + EB = BC. (1)

+) Chứng minh tương tự với hai tam giác AHM (vuông tại H) và CHM (vuông tại A) có:

AH = CH (giả thiết)

AM là cạnh chung

Suy ra ∆AHM = ∆CHM (hai cạnh góc vuông)

Do đó AM = CM (hai cạnh tương ứng)

Nên MA + MB = MC + MB (2)

+ Xét tam giác BCM có: MC + MB > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: MA + MB > EA + EB.

Vậy MA + MB > EA + EB.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi khởi động trang 84 Toán 7 Tập 2: Hai chiếc compa ở Hình 45 gợi nên hình ảnh hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B', AC = A'C'...

Hoạt động 1 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 46). Nêu hai cạnh của góc tại đỉnh A...

Hoạt động 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' (Hình 47) có: AB = A'B' = 2 cm,  AC = A'C' = 3 cm...

Luyện tập 1 trang 85 Toán 7 Tập 2: Cho góc nhọn xOy. Hai điểm M, N thuộc tia Ox thoả mãn OM = 2 cm, ON = 3 cm...

Luyện tập 2 trang 85 Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy có Oz là tia phân giác. Hai điểm M, N lần lượt thuộc Ox, Oy và khác O thoả mãn OM = ON...

Bài 1 trang 86 Toán 7 Tập 2: Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang 74) thông qua...

Bài 2 trang 86 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông...

Bài 3 trang 86, trang 87 Toán 7 Tập 2: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã...

Bài 4 trang 87 Toán 7 Tập 2: Cho ABC = MNP. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Bài 7: Tam giác cân

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác