Cho sin alpha = 3/5, cos beta=12/13 và 0 độ < alpha, beta < 90 độ. Tính giá trị của biểu thức

Lời giải Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 1,238 24/09/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin α = \frac{3}{5},$ $\cos β = \frac{12}{13}$ và 0° < α, β < 90°. Tính giá trị của biểu thức sin(α + β) và cos(α ‒ β).

Lời giải:

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0. Do đó, $cos α = \sqrt{1 - {sin}^{2} α} = \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}} = \frac{4}{5} .$

Vì 0° < β < 90° nên sinβ > 0. Do đó, $sin β = \sqrt{1 - {cos}^{2} β} = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} = \frac{5}{13} .$

Khi đó,

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{56}{65}$

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{63}{65}$

* Một số công thức cần nhớ để áp dụng

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$