Cho sinα + cosα = m. Tìm m để sin2a= -3/4

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để $\sin 2\alpha =-\frac{3}{4}.$

Lời giải:

Ta có $\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\text{cos}\alpha \right)=\sqrt{2}\text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $-1\le \text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \le \sqrt{2}$.

Suy ra $-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}$

Ta lại có ${(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2={\text{sin}}^2\alpha +2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +{\text{cos}}^2\alpha =1+\text{sin}2\alpha$

Suy ra $\text{sin}2\alpha ={(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1=m^2-1$

Khi đó, $\text{sin}2\alpha =-\frac{3}{4}$ hay $m^2-1=-\frac{3}{4}$, do đó m² = $\frac{1}{4}$

Suy ra $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$(thoả mãn điều kiện).

Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$